Angela chiede come si possa studiare la sommabilità della seguente funzione:
\[f\left( x \right)=\frac{\arctan x}{\sqrt{x}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
nell’intervallo \(\left[ 0,1 \right]\).
Ricevo da Angela la seguente domanda:Caro professore,non so proprio come affrontare questo esercizio:Studiare la sommabilità della seguente funzione:\[f\left( x \right)=\frac{\arctan x}{\sqrt{x}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]nell’intervallo \(\left[ 0,1 \right]\).Grazie. Le rispondo così:Cara Angela,la sommabilità (o integrabilità in senso generalizzato) della funzione in questione, cioè l’esistenza e finitezza del seguente limite:\[\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}\underset{a\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{b\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{\frac{\arctan x}{\sqrt{x}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx} \right)\] si può indagare ricorrendo all’analisi di funzioni \(g(x)\) che siano asintoticamente equivalenti a \(f(x)\) in ciascuno dei limiti coinvolti, cioè che siano tali da avere con \(f(x)\) un rapporto che, nei limiti in questione, sia finito e non nullo: in tal caso, infatti, il comportamento degli integrali di \(f(x)\) e di \(g(x)\) in intervalli aventi uno degli estremi coincidente con uno degli estremi interessati dai limiti è lo stesso (convergenza/divergenza). Essendo \(f(x)\) definita e continua, quindi integrabile, in ogni intervallo chiuso contenuto nell’aperto \(\left] 0,1 \right[\), possiamo dividere l’integrale in due addendi, ad esempio: \[\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{0}^{1/4}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1/4}^{1}{f\left( x \right)dx}\] e studiare il comportamento dei due addendi separatamente: \(f(x)\) è sommabile su \(\left[ 0,1 \right]\) se e solo se esistono finiti i seguenti limiti: \[\underset{a\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{1/4}{f\left( x \right)dx}\quad \quad \underset{b\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1/4}^{b}{f\left( x \right)dx}\quad .\]Nel primo caso, ricordando che \(\arctan x\) è un infinitesimo dello stesso ordine di \(x\) nel limite per \(x\) che tende a \(0\), osserviamo che la funzione \[g\left( x \right)=\frac{\sqrt{x}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]è asintoticamente equivalente a \(f(x)\) nel limite \(x\to 0^{+}\), infatti:\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\arctan x}{x}=1\quad .\]Quindi ora possiamo sostituire lo studio del comportamento dell’integrale di \(f(x)\) nell’intervallo \(\left[ 0,1/4 \right]\) con quello dell’integrale di \(g(x)\) nello stesso intervallo, sapendo che sono uguali (i comportamenti, non necessariamente i valori, nel caso fossero convergenti!); poiché:\[\underset{a\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{1/4}{\frac{\sqrt{x}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx}=\underset{a\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}\ln \left( 1-\sqrt{x} \right)-\frac{1}{2}\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)-\frac{\sqrt{x}}{x-1} \right]_{a}^{1/4}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\ln 3\] quindi concludiamo che il primo dei due integrali converge ad un valore finito (cosa che si poteva comunque dedurre senz’altro anche semplicemente dal fatto che \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\)).Per quanto riguarda il secondo addendo, utilizziamo la funzione equivalente \[g\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\] osservando che in questo caso \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\arctan x=\frac{\pi }{4}\] e poiché: \[\underset{b\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1/4}^{b}{\frac{1}{\sqrt{x}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx}=\underset{b\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}\ln \left( 1+\sqrt{x} \right)-\frac{1}{2}\ln \left( 1-\sqrt{x} \right)-\frac{\sqrt{x}}{x-1} \right]_{1/4}^{b}=\]\[=\underset{b\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+\sqrt{b}}{1-\sqrt{b}} \right)-\frac{\sqrt{b}}{b-1} \right)-\frac{1}{2}\ln 3-\frac{2}{3}=+\infty \] dobbiamo concludere che, non essendo convergente questo secondo addendo, la funzione \(f(x)\) non è sommabile sull’intervallo indicato.Massimo Bergamini