Domini

Ricevo da Sara la seguente domanda: Buongiorno, mi chiedevo se mi potesse aiutare a risolvere questi esercizi: 1) Calcolare il dominio della seguente funzione:\[f\left( x \right)=\frac{\sqrt{\left| \sin x \right|}}{\sqrt{\sin 2x-\cos x}}\quad .\] 2) Determina il dominio della funzione al variare di \(a\) in \(\mathbb{R}\): \[f\left( x \right)=\sqrt{1-2\cos x}+\frac{1}{\sqrt{a\sin x}}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Sara, nel primo caso, il dominio \(D\) coincide con l’insieme soluzione della seguente disequazione goniometrica: \[\sin 2x-\cos x>0\] cioè: \[2\sin x\cos x-\cos x>0\to \cos x\left( 2\sin x-1 \right)>0\to \]\[\to \left\{ \cos x>0\wedge \sin x>\frac{1}{2} \right\}\cup \left\{ \cos x<0\wedge \sin x<\frac{1}{2} \right\}\to \]\[\to D=\left\{ \frac{\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\}\cup \left\{ \frac{5\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right\}\quad .\] Nel secondo caso, il dominio \(D\) è dato dall’intersezione fra i seguenti insiemi \(D_1\) e \(D_2\) : \[{{D}_{1}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:1-2\cos x\ge 0 \right\}\quad \quad {{D}_{2}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:a\sin x>0 \right\}\] cioè \[{{D}_{1}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:\cos x\le \frac{1}{2} \right\}=\left\{ \frac{\pi }{3}+2k\pi <x<\frac{5\pi }{3}+2k\pi \right\}\] \[{{D}_{2}}=\varnothing \quad \text{se }a=0,\quad {{D}_{2}}=\left\{ 2k\pi <x<\pi +2k\pi \right\}\quad \text{se }a>0,\quad {{D}_{2}}=\left\{ \pi +2k\pi <x<2\pi +2k\pi \right\}\quad \text{se }a<0\] per cui: \[D=\varnothing \quad \text{se }a=0,\quad D=\left\{ \frac{\pi }{3}+2k\pi \le x<\pi +2k\pi \right\}\quad \text{se }a>0,\quad {{D}_{2}}=\left\{ \pi +2k\pi <x\le \frac{5\pi }{3}+2k\pi \right\}\quad \text{se }a<0\; .\] Massimo Bergamini

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