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Il segno di una funzione

Elisa chiede aiuto nello studio del segno della seguente funzione a due variabili: \[f\left( x,y \right)=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}-3x+y \right)}{5{{x}^{2}}-3y+3}\]
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Professore, come si fa lo studio del segno di questa funzione?                               \[f\left( x,y \right)=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}-3x+y \right)}{5{{x}^{2}}-3y+3}\quad ?\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Elisa, innanzitutto la funzione esiste solo nel seguente dominio: \[{{D}_{f}}=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:{{x}^{2}}-3x+y>0 \right\}=\]\[=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:y>-{{x}^{2}}+3x \right\}\quad .\] Se ora definiamo le seguenti regioni del piano: \[{{A}_{1}}=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:y>\frac{5}{3}{{x}^{2}}+1 \right\}\quad \overline{{{A}_{1}}}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}-{{A}_{1}}\]\[{{A}_{2}}=\left\{ \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}:y<-{{x}^{2}}+3x+1 \right\}\quad \overline{{{A}_{2}}}=\mathbb{R}\times \mathbb{R}-{{A}_{2}}\] osservando che  \[5{{x}^{2}}-3y+3>0\leftrightarrow \left( x,y \right)\in \overline{{{A}_{1}}}\]\[\ln \left( {{x}^{2}}-3x+y \right)>0\leftrightarrow \left( x,y \right)\in \overline{{{A}_{2}}}\] e tenendo conto anche del fatto che \({{A}_{1}}\subset {{D}_{f}}\) e \(\overline{{{D}_{f}}}\subset {{A}_{2}}\), concludiamo che: \[f\left( x,y \right)>0\leftrightarrow \left( x,y \right)\in \left( \overline{{{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}} \right)\cup \left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \right)\]\[f\left( x,y \right)<0\leftrightarrow \left( x,y \right)\in \left( {{A}_{1}}\cup \left( {{A}_{2}}\cap {{D}_{f}} \right) \right)-\left( {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}} \right)\]\[f\left( x,y \right)=0\leftrightarrow \left( x,y \right):y=-{{x}^{2}}+3x+1\quad .\] Massimo Bergamini
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