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Un problema di trigonometria

Leonardo propone il seguente problema: Nel triangolo rettangolo \(ABC\) i cateti \(AB\) e \(AC\) misurano, rispettivamente, \(6\) e \(8\). Determina un punto \(P\) sul lato \(AC\) in modo che, dette rispettivamente \(r\) ed \(R\) le misure del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo \(BAP\) e del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo \(BPC\), sia verificata la relazione \(r+R=3+7\frac{\sqrt{3}}{3}\).
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Ricevo da Leonardo la seguente domanda:   Gentilissimo professore, ho difficoltà con questo problema:   Nel triangolo rettangolo \(ABC\) i cateti \(AB\) e \(AC\) misurano, rispettivamente, \(6\) e \(8\). Determina un punto \(P\) sul lato \(AC\) in modo che, dette rispettivamente \(r\) ed \(R\) le misure del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo \(BAP\) e del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo \(BPC\), sia verificata la relazione \(r+R=3+7\frac{\sqrt{3}}{3}\).   Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Leonardo, con riferimento alla figura, posto \(x=P\hat{B}A\), con \(0\le x\le \arcsin \frac{4}{5}\), poiché \(BC=10\) e \(B\hat{P}C=x+\pi/2\), in base al teorema della corda si ha: \[2R=\frac{BC}{\sin B\hat{P}C}\to R=\frac{5}{\cos x}\quad .\] Inoltre, ricordando che il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è pari al rapporto fra area \(S\) e semiperimetro \(p\), e che \(AP=6\tan x\) e \(BP=6/\cos x\), si ha: \[r=\frac{S}{p}=\frac{18\tan x}{3+3\tan x+3/\cos x}=\frac{6\sin x}{\sin x+\cos x+1}\quad .\] Pertanto, la relazione richiesta equivale all’equazione:          \[\frac{6\sin x}{\sin x+\cos x+1}+\frac{5}{\cos x}=\frac{9+7\sqrt{3}}{3}\to \]\[\to 18\sin x\cos x+15\sin x+15\cos x+15=\]\[=9\sin x\cos x+9-9{{\sin }^{2}}x+9\cos x+7\sqrt{3}\sin x\cos x+7\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x+7\sqrt{3}\cos x\to \] \[\to 7\sqrt{3}\cos x\left( \sin x+\cos x \right)-9\sin x\left( \sin x+\cos x \right)-6\left( \sin x+\cos x \right)-6-9\sin x+7\sqrt{3}\cos x=0\to \]\[\to \left( \sin x+\cos x+1 \right)\left( 7\sqrt{3}\cos x-9\sin x-6 \right)=0\] e poiché \(\sin x+\cos x+1=0\) non è accettabile, l’equazione equivale a \[7\sqrt{3}\cos x-9\sin x-6=0\quad .\] Posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), e ponendo a sistema con la relazione fondamentale, si ottiene l’equazione: \[76{{X}^{2}}-28\sqrt{3}X-15=0\] la cui sola soluzione accettabile è \(X=\frac{\sqrt{3}}{2}\), cui corrisponde \(Y=\frac{1}{2}\), cioè \(x=\frac{\pi }{6}\).   Massimo Bergamini
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