ricaviamo facilmente i seni degli angoli \(\alpha\) e \(\beta\) nei vertici \(A\) e \(B\) rispettivamente osservando i triangoli rettangoli \(ASH\) e \(BSK\): \[\sin \alpha =\frac{8}{17}\quad \quad \sin \beta =\frac{4}{5}\] e quindi, supponendo (vedi figura) che entrambi i punti \(H\) e \(K\) appartengano ai segmenti \(AC\) e \(CB\) (cosa non ben specificata nel testo), e cioè che \(\alpha\) e \(\beta\) siano entrambi acuti, dall’identità gonometrica fondamentale si possono ricavare \[\cos \alpha =\frac{15}{17}\quad \quad \sin \beta =\frac{3}{5}\] da cui: \[\sin \gamma =\sin \left( \pi -\left( \alpha +\beta \right) \right)=\sin \left( \alpha +\beta \right)=\] \[=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{84}{85}\quad .\] Si può inoltre osservare che: \[AH=17\cos \alpha =15\quad BK=10\cos \beta =6\]\[C\overset{\vartriangle }{\mathop{S}}\,H\cong C\overset{\vartriangle }{\mathop{S}}\,K\to CH\cong CK\] da cui, ricordando il teorema della bisettrice (o, in alternativa, utilizzando il teorema dei seni e quindi la proporzione: \(AC:CB=\sin(\beta):\sin(\alpha\))): \[AC:AS=CB:BS\to \frac{15+CH}{17}=\frac{6+CH}{10}\to CH=\frac{48}{7}\] e quindi: \[AC=15+\frac{48}{7}=\frac{153}{7}\quad CB=6+\frac{48}{7}=\frac{90}{7}\] per verificare infine l’assunto del teorema dei seni: \[\frac{AC}{CB}=\frac{17}{10}=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }\quad .\]
Massimo Bergamini
