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Domìni

Lucia propone le seguenti funzioni, di cui si deve trovare il dominio: \[y={{\left( \tan x \right)}^{x}}\quad \quad y={{\left( \sin x \right)}^{\frac{1}{x}}}\]\[y=\ln \left( \arcsin x \right)\quad \quad y=\frac{\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}\quad .\]
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Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Egregio professore, non riesco a risolvere alcuni domini (pag.1375, n.80, pag.1376, n.97, Matematica.blu 2.0.). \[y={{\left( \tan x \right)}^{x}}\quad \quad y={{\left( \sin x \right)}^{\frac{1}{x}}}\quad \quad y=\ln \left( \arcsin x \right)\quad \quad y=\frac{\tan x}{1-{{\tan }^{2}}x}\quad .\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, nel primo caso la condizione equivale all’esistenza e positività della base:  \[\exists \tan x\wedge \tan x>0\to D=\left\{ k\pi <x<\frac{\pi }{2}+k\pi  \right\}\quad .\] Anche nel secondo caso la condizione equivale alla positività della base, che implica anche l’esistenza dell’esponente:  \[\sin x>0\to D=\left\{ 2k\pi <x<\pi +2k\pi  \right\}\quad .\] Nel terzo caso la condizione equivale all’esitenza e positività dell’argomento del logaritmo, per cui: \[\exists \arcsin x\wedge \arcsin x>0\to D=\left\{ 0<x\le 1 \right\}\quad .\] Nell’ultimo caso la condizione equivale all’esistenza di \(\tan x\) e alla non nullità del denominatore, cioè: \[\exists \tan x\wedge \tan x\ne \pm 1\to D=\left\{ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \wedge x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \right\}\quad .\] Massimo Bergamini

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