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Due quesiti sulla probabilità

Ettore propone due quesiti sul calcolo della probabilità in senso classico.
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Ricevo da Ettore la seguente domanda:   Caro professore, un aiuto (n.37 e n.35, pag.110\(\alpha\), Matematica.blu 2.0):   1) Abbiamo due urne. La prima contiene 4 palline nere e 6 bianche e la seconda 6 nere e 6 bianche. Per la scelta dell'urna si estrae da ciascuna urna una pallina, se sono uguali si sceglie la prima, altrimenti la seconda. Si estraggono consecutivamente due palline, rimettendo ogni volta quella estratta nell'urna. Calcola la probabilità che esse siano: a) due nere; b) prima una bianca e poi una nera; c) una bianca e una nera; d) due bianche.   2) Un dispositivo A ha la probabilità di guastarsi del \(6\%\) e un dispositivo B ad esso collegato ha la probabilità di guastarsi del \(5\%\), se A non è guasto, e del \(3\%\) se A si guasta. Calcola la probabilità che in un certo momento: a) i due dispositivi si guastino contemporaneamente; b) almeno uno sia guasto; c) sia guasto uno soltanto; d) non vi sia alcun guasto.   Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Ettore, nel primo caso calcoliamo innanzitutto la probabilità di scegliere un’urna o l’altra: poichè la prima urna corrisponde all’evento “estraggo bianca dalla 1° et bianca dalla 2° oppure estraggo nera dalla 1° et nera dalla 2°”, abbiamo: \[p\left( 1{}^\circ Urna \right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\to p\left( 2{}^\circ Urna \right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\quad .\] Ora calcoliamo le probabilità richieste, sapendo che gli eventi indicati si possono verificare come unione di due possibilità, a seconda dell’urna scelta. a) \(p\left( NN \right)=p\left( 1{}^\circ U\cap NN \right)+p\left( 2{}^\circ U\cap NN \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{41}{200}\). b) \(p\left( BN \right)=p\left( 1{}^\circ U\cap BN \right)+p\left( 2{}^\circ U\cap BN \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{49}{200}\). c) \(p\left( BN\cup NB \right)=2\cdot p\left( BN \right)=\frac{49}{100}\). d) \(p\left( BB \right)=p\left( 1{}^\circ U\cap BB \right)+p\left( 2{}^\circ U\cap BB \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{61}{200}\). Nel secondo caso, immaginando uno schema ad albero in base alla due opzioni possibili per la macchina A, abbiamo che: a) \(p\left( {{G}_{A}}\cap {{G}_{B}} \right)=p\left( {{G}_{A}} \right)\cdot p\left( {{G}_{B}}|{{G}_{A}} \right)=\frac{6}{100}\cdot \frac{3}{100}=0,18\%\). b) \(p\left( {{G}_{A}}\cup {{G}_{B}} \right)=p\left( {{G}_{A}}\cap \overline{{{G}_{B}}} \right)+p\left( {{G}_{B}}\cap \overline{{{G}_{A}}} \right)+p\left( {{G}_{A}}\cap {{G}_{B}} \right)=\frac{6\cdot 97+5\cdot 94+6\cdot 3}{10000}=10,7\%\). c) \(p\left( {{G}_{A}}\cap \overline{{{G}_{B}}} \right)+p\left( {{G}_{B}}\cap \overline{{{G}_{A}}} \right)=\frac{6\cdot 97+5\cdot 94}{10000}=10,52\%\). d) \(p\left( \overline{{{G}_{A}}}\cap \overline{{{G}_{B}}} \right)=\frac{94\cdot 95}{10000}=89,3\%\). Massimo Bergamini

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