Equazioni in campo complesso

Ricevo da Luigia la seguente domanda:

 

Caro professore,

come risolvere:

\[\frac{{{z}^{4}}}{\left| {{z}^{3}} \right|}+16=0\quad \quad \frac{\left| {{z}^{5}} \right|}{{{z}^{2}}}=-27\quad ?\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Luigia,

la forma più conveniente in cui porre l’incognita di questo tipo di equazioni è quella esponenziale: \(z=\rho {{e}^{i\vartheta }}\), per cui, nel primo caso: \[\frac{{{z}^{4}}}{\left| {{z}^{3}} \right|}+16=0\to \frac{{{\rho }^{4}}{{e}^{i4\vartheta }}}{{{\rho }^{3}}}=16{{e}^{i\pi }}\to \rho {{e}^{i4\vartheta }}=16{{e}^{i\pi }}\to \] \[\to \rho =16\quad \wedge \quad 4\vartheta =\pi +2k\pi \to \vartheta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\] cioè si hanno le quattro soluzioni: \[{{z}_{1}}=16{{e}^{i\frac{\pi }{4}}}=8\sqrt{2}+8\sqrt{2}\,i\quad {{z}_{2}}=16{{e}^{i\frac{3\pi }{4}}}=-8\sqrt{2}+8\sqrt{2}\,i\]\[{{z}_{3}}=16{{e}^{i\frac{5\pi }{4}}}=-8\sqrt{2}-8\sqrt{2}\,i\quad {{z}_{4}}=16{{e}^{i\frac{7\pi }{4}}}=8\sqrt{2}-8\sqrt{2}\,i\quad .\]

Nel secondo caso: \[\frac{\left| {{z}^{5}} \right|}{{{z}^{2}}}=-27\to \frac{{{\rho }^{5}}}{{{\rho }^{2}}{{e}^{i2\vartheta }}}=27{{e}^{i\pi }}\to {{\rho }^{3}}{{e}^{-i2\vartheta }}=27{{e}^{i\pi }}\to \] \[\to \rho =3\quad \wedge \quad 2\vartheta =-\pi +2k\pi \to \vartheta =-\frac{\pi }{2}+k\pi \] cioè si hanno le due soluzioni:  \[{{z}_{1}}=3{{e}^{i\frac{\pi }{2}}}=3i\quad {{z}_{2}}=3{{e}^{-i\frac{\pi }{2}}}=-3i\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione