Un problema di probabilità

Ricevo da Adrian la seguente domanda: Consideriamo un gioco di dadi; in questo gioco ci sono dadi a \(6\), \(8\), \(10\) e \(12\) facce. L'obiettivo è ottenere con un lancio da \(1\) a \(5\) dadi, anche misti, un risultato di \(6\) (non la somma ma il singolo risultato). Dati i seguenti gruppi: a) \(2\) dadi a \(6\) facce, \(1\) dado a \(8\) facce e \(1\) dado a \(10\) facce; b) \(2\) dadi a \(6\) facce e \(3\) dadi a \(8\) facce; c) \(3\) dadi a \(12\) facce; in quale caso è più probabile che almeno un dado del gruppo risulti \(6\) o più? Grazie. Gli rispondo così: Caro Adrian, in ciascun caso, poiché si richiede la probabilità che almeno uno dei dadi presenti un risultato maggiore o uguale a \(6\), conviene calcolare preliminarmente la probabilità dell’evento contrario, cioè che nessuno dei dadi presenti un tale risultato: sottraendo all’unità questa probabilità, si ricava la probabilità cercata. In tutti i casi, la probabilità che nessuno dei dadi presenti un risultato maggiore o uguale a \(6\) equivale al prodotto delle probabilità, per ciascun dado, di presentare un risultato minore o uguale a \(5\), in quanto si tratta di realizzare l’intersezione di eventi indipendenti tra loro (l’esito di un dado non modifica la probabilità di verificarsi dei possibili esiti degli altri dadi). Pertanto, dette \(p_a\), \(p_b\) e \(p_c\) le probabilità nei tre casi, si ha: \[{{p}_{a}}=1-{{p}_{6}}\left( \le 5 \right)\cdot {{p}_{6}}\left( \le 5 \right)\cdot {{p}_{8}}\left( \le 5 \right)\cdot {{p}_{10}}\left( \le 5 \right)=1-\left( \frac{{{5}^{2}}}{{{6}^{2}}}\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{5}{10} \right)=\frac{451}{576}\approx 21,7\%\] \[{{p}_{b}}=1-{{\left( {{p}_{6}}\left( \le 5 \right) \right)}^{2}}\cdot {{\left( {{p}_{8}}\left( \le 5 \right) \right)}^{3}}=1-\left( \frac{{{5}^{2}}}{{{6}^{2}}}\cdot \frac{{{5}^{3}}}{{{8}^{3}}} \right)=\frac{15307}{18432}\approx 83\%\]\[{{p}_{c}}=1-{{\left( {{p}_{12}}\left( \le 5 \right) \right)}^{3}}=1-\left( \frac{{{5}^{3}}}{{{12}^{3}}} \right)=\frac{1603}{1728}\approx 92,8\%\quad .\] Massimo Bergamini

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