2) Disegna il grafico della funzione:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} |x+1|\quad se\;x\le0 \\ \ln x \quad se\;x>0 \end{array} \right.\quad .\]
Indica se ha estremo superiore o inferiore, se ha massimo e minimo.
3) Data la funzione \(y=\sqrt{\frac{2}{\left| x \right|}}\):
a) trova il dominio;
b) verifica che ha per estremo superiore \(+\infty\).
4) Trova il dominio della funzione \(y=\sqrt{\ln x-1}\) e stabilisci se si tratta di un intervallo limitato o illimitato. Verifica che ha per estremo inferiore \(L=0\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
nel primo caso, la funzione \(a\) sembra avere dominio illimitato, \(D_a=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), e codominio illimitato, \(C_a=\mathbb{R}-\left[ 1;2 \right[\): essendo \(C_a\) illimitato, \(f(x)\) risulta illimitata (\({{\inf }_{f}}=-\infty \),\({{\sup }_{f}}=+\infty\)). La funzione \(b\) presenta un dominio limitato superiormente, \({{D}_{b}}=\left] -\infty ;2 \right[-\left\{ -2 \right\}\), e un codominio illimitato, \(C_b=\mathbb{R}\) (\({{\inf }_{f}}=-\infty \),\({{\sup }_{f}}=+\infty\)). La funzione \(c\) ha un dominio limitato sia inferiormente che superiormente, \(D_c=\left[ 0;2 \right[\), e un codominio pure limitato sia inferiormente che superiormente, \(C_c=\left[ -1;2 \right[\): pertanto (\({{\inf }_{f}}=-1\), \({{\sup }_{f}}=2\).
Nel se
condo caso, si può osservare come il codominio della funzione sia l’insieme \(\mathbb{R}\), per cui \({{\inf }_{f}}=-\infty \),\({{\sup }_{f}}=+\infty\).
Nel terzo caso, la funzione ha dominio \(D=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), che pertanto ha estremo superiore \(+\infty\).
Infine, nel quarto caso, la funzione ha dominio \(D=\left[e;+\infty \right[\), intervallo limitato inferiormente e illimitato superiormente. Essendo il codominio \(C_c=\left[0;+\infty \right[\), si ha \(L={{\inf }_{f}}=0\).
Massimo Bergamini
