nel primo caso, posto \(x=AE=EF=FD=BC\) e \(y=BE=CF\), si ha che il volume \(V_1\) del solido generato dalla rotazione del triangolo \(CDE\) attorno a \(AD\) è \({{V}_{1}}=\frac{2}{3}\pi {{y}^{2}}x\), e poiché il volume \(V_2\) del solido generato dalla rotazione dell’intero trapezio è \({{V}_{2}}=\frac{5}{3}\pi {{y}^{2}}x\), si ha che il volume \(V_3\) del solido generato dalla rotazione del solo parallelogrammo \(ABCE\) è \({{V}_{3}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}}=\pi {{y}^{2}}x\), per cui \(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}=\frac{3}{2}\).
Nel secondo caso, poiché applicando il teorema di Pitagora si ottiene \(AD=24\;cm\), posto \(x=AP\) e \(y=PD\), si risolve il sistema di equazioni \(x+y=24\) e \(144+x^2=(12+y)^2\), da cui \(x=16\;cm\): ne consegue \(2{{p}_{ABP}}=48\,cm\). Detta \(S\) la superficie e \(V\) il volume del solido che si ottiene facendo ruotare il quadrilatero \(BCDP\) attorno ad \(AD\), si ha: \[S=\left[ {{19}^{2}}\pi +\left( 12+19 \right)25\pi +12\cdot 20\pi \right]\,c{{m}^{2}}=1376\pi \,c{{m}^{2}}\] \[V=\left[ \frac{1}{3}24\left( {{19}^{2}}+{{12}^{2}}+12\cdot 19 \right)\pi -\frac{1}{3}16\cdot {{12}^{2}}\pi \right]\,c{{m}^{3}}=5096\pi \,c{{m}^{2}}\quad .\]
Nel terzo caso, posto \(x=DC=BC\), si ha \(HB=8-x\), per cui deve essere \(16{{a}^{2}}+{{\left( 8a-x\right)}^{2}}={{x}^{2}}\to x=5a\), da cui \(2{{p}_{ABCD}}=22a\). Quindi, posto \(y=EF\), detto \(V_1\) il volume del doppio cono generato dalla rotazione del triangolo \(ABE\) e detto \(V_2\) il volume del solido generato dalla rotazione del trapezio \(ABCD\), si ha: \[{{V}_{1}}=\frac{8a}{3}\pi {{\left( y+4a \right)}^{2}}=y={{V}_{2}}=96\pi {{a}^{3}}\to y=2a\] per cui, sfruttando la similitudine dei triangoli \(EFC\) e \(CHB\): \[EC=\frac{5}{4}2a=\frac{5}{2}a\to FC=GH=\frac{3}{2}a\to BE=\frac{15}{2}a,AG=\frac{7}{2}a\] e utilizzando Pitagora nel triangolo \(AGE\): \[AE=\sqrt{\frac{49}{4}+36}\,a=\frac{3\sqrt{17}}{2}a\to 2{{p}_{ABE}}=\frac{31+3\sqrt{17}}{2}a\quad .\]
Infine, nel quarto caso, posto \(y=DE\) e \(z=EA=PK\), si ha: \[225-{{\left( y-z \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{169-{{\left( y-z \right)}^{2}}}+4 \right)}^{2}}\to ...\] \[...\to \sqrt{169-{{\left( y-z \right)}^{2}}}=5\to y=12+z\] pertanto, detta \(S\) la superficie del solido generato dalla rotazione di \(CDP\), si ha: \[S=\left[ 15\left( 12+2z \right)\pi +13\left( 12+2z \right)\pi +8\left( 12+z \right)\pi \right]\,c{{m}^{2}}=\left( 432\pi +64\pi z \right)\,c{{m}^{2}}\]e in base all’ipotesi si deve avere: \[\left( 432\pi +64\pi z \right)\,c{{m}^{2}}=560\pi \,c{{m}^{2}}\to z=2\,cm\] e quindi: \[PB=\frac{13}{12}PK=\frac{13}{6}\,cm,BK=\frac{5}{6}\,cm\to CH=DA=14\,cm\to 2{{p}_{ABPD}}=41\,cm\quad .\]
Massimo Bergamini
