Problemi su serie geometriche

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

la prego di spiegarmi alcuni vostri esercizi sulle serie (pag.\(\varepsilon\)52, nn. 416, 417, 418, Matematica.verde):

 

1) Considera il fascio di rette parallele, di equazione \(y=1-2^{-n}\), con \(n\in \mathbb{N}\). Determina la serie delle lunghezze dei segmenti intercettati dalla circonferenza \(x^2+y^2=1\) e fai una stima della sua somma.

 

2) Determina la somma dei perimetri dei quadrati inscritti e quella dei quadrati circoscritti alle circonferenze di equazione \(x^2+y^2=3^{-n}\), con \(n\in \mathbb{N}\).

 

3) Una palla viene lasciata cadere da un’altezza \(h\) dal suolo. Supponi che l’urto con il pavimento sia anelastico e, a ogni rimbalzo, la palla, dopo aver colpito il suolo, raggiunga solo la metà dell’altezza precedente. Calcola dopo quanto tempo la palla si ferma.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

in ciascuno dei problemi si tratta di calcolare la somma \(S\) di una progressione geometrica di ragione \(q\) con la formula          \[S=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}=\frac{1}{1-q}}\quad .\]figura1229

Nel primo caso, la progressione delle lunghezze dei segmenti si ottiene dal teorema di Pitagora: \[{{l}_{n}}=2\sqrt{1-{{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{{{2}^{n}}}\sqrt{{{2}^{n+1}}-1}\] pertanto la somma \(S\) richiesta è stimabile per eccesso utlizzando la progressione geometrica che si ottiene trascurando l’unità sotto radice:  \[S=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{2}^{n+1}}-1}}{{{2}^{n-1}}}}<\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{2}^{n+1}}}}{{{2}^{n-1}}}}=2\sqrt{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{n}}}=\frac{2\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4\left( \sqrt{2}+1 \right)\quad .\]

figura1230Nel secondo caso, le progressioni geometriche dei perimetri dei quadrati inscritti e circoscritti sono rispettivamente le seguenti: \[{{p}_{n}}=4\sqrt{2}{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}\quad \quad {{P}_{n}}=8{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}\] pertanto: \[s=4\sqrt{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}=\frac{4\sqrt{2}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=}2\sqrt{2}\left( 3+\sqrt{3} \right)\]\[S=8\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{n}}=}4\left( 3+\sqrt{3} \right)\quad .\]

Nell’ultimo caso, posto che il tempo impiegato da un corpo per cadere da figura1231un’altezza \(h\) (o per risalire fino ad un’altezza \(h\)) è pari a \(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) , nel caso in esame si ha un
tempo totale \(T\) pari a: \[T=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\sqrt{\frac{2\left( h/{{2}^{n+1}} \right)}{g}}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+2\sqrt{\frac{h}{g}}{{\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}^{n}}=\] \[=\sqrt{\frac{2h}{g}}\left( 3+2\sqrt{2} \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione