L'esperto di matematica
Solidi di rotazione
Elisa chiede aiuto in merito al seguente problema:
Data la parabola di equazione \(y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\) e la circonferenza di equazione \(x^2+y^2=\frac{25}{4}\), determinare una retta che passa per l’origine degli assi che incontra la parabola in un punto \(M\) del primo quadrante in modo che facendo ruotare la figura attorno all’asse delle ascisse il volume generato dalla superficie compresa tra la corda \(OM\) e l’arco \(OM\) di parabola sia uguale al quintuplo del volume della sfera generata dal cerchio dato.
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Cara Elisa,
posto che \(M\) abbia coordinate \(\left( k,\frac{{{k}^{2}}}{2} \right)\), il volume \(V\) del solido di rotazione in questione si può ottenere per differenza tra il volume del cono di altezza \(k\) e raggio di base \(\frac{{{k}^{2}}}{2}\) e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del sottografico dell’arco di parabola \(OM\), cioè: \[V=\frac{1}{3}\pi \frac{{{k}^{5}}}{4}-\pi \int\limits_{0}^{k}{\frac{{{x}^{2}}}{4}dx}=\frac{\pi }{12}{{k}^{5}}-\frac{\pi }{20}{{k}^{5}}=\frac{\pi }{30}{{k}^{5}}\] per cui l’uguaglianza richiesta si realizza se e solo se \[\frac{\pi }{30}{{k}^{5}}=5\frac{4}{3}\pi \frac{125}{8}\to {{k}^{5}}={{5}^{5}}\to k=5\] da cui si ricava la retta \(OM\), cioè \(y=\frac{5}{2}x\).
Massimo Bergamini
