nel primo caso dalle ipotesi discende subito la congruenza dei triangoli \(ABC\) e \(BHK\) (\(1^\circ\) criterio, angoli in \(B\) opposti al vertice e lati relativi congruenti per costruzione): essendo quindi \(A\hat{C}B\cong B\hat{H}K\), da cui \(D\hat{C}B\cong B\hat{H}E\) in quanto supplementari di angoli congruenti, e \(C\hat{B}D\cong E\hat{B}H\) in quanto opposti al vertice, per il \(2^\circ\) criterio si ha la congruenza dei triangoli \(CDB\) e \(BHE\), da cui \(CD\cong EH\). Poiché quindi \(CB\cong BH\) e \(BE\cong BD\), con \(C\hat{B}E\cong D\hat{B}H\) in quanto opposti al vertice, per il \(1^\circ\) criterio si ha la congruenza dei triangoli \(CBE\) e \(DBH\), da cui in particolare \(CE\cong DH\).
Nel secondo caso, dalle ipotesi e dalla congruenza dei triangoli rettangoli \(ABK\) e \(ABH\) (\(2^\circ\) criterio…), discende la congruenza dei triangoli isosceli \(ABQ\) e \(ABP\), aventi \(AK\) e \(BH\) come rispettive altezze relative alle basi: poiché quindi \(QA\cong BP\), \(AC \cong BC\) e \(Q\hat{A}C\cong C\hat{B}P\), per il \(1^\circ\) criterio si ha la congruenza dei triangoli \(ACQ\) e \(CBP\). La congruenza degli angoli \(T\hat{A}B\) e \(T\hat{B}A\), in quanto supplementari di congruenti, implica \(AT\cong BT\), da cui \(QT\cong PT\) in quanto somme di segmenti congruenti, quindi il triangolo \(TPQ\) è isoscele. Infine, la congruenza dei triangoli \(QCT\) e \(PCT\) (\(1^\circ\) criterio, angoli in \(Q\) e \(P\) congruenti, lati relativi congruenti), implica \(Q\hat{C}T\cong P\hat{C}T\), da cui, per differenza di angoli congruenti, \(A\hat{C}T\cong C\hat{C}T\), e quindi \(CT\) è bisettrice di \(A\hat{C}B\).
Nell’ultimo caso, si verifica la congruenza dei triangoli \(AOB\) e \(DOC\) (\(1^\circ\) criterio, angoli in \(O\) congruenti per costruzione, lati relativi congruenti per costruzione) e dei triangoli \(AOC\) e \(BOD\) (\(1^\circ\) criterio, angoli in \(O\) congruenti in quanto somme di angoli congruenti, lati relativi congruenti per costruzione), da cui \(AB\cong DC\), \(AC\cong BD\) e \(BC\) in comune: i triangoli \(ABC\) e \(DCB\) sono congruenti per il \(3^\circ\) criterio. Ne consegue \(C\hat{A}B\cong B\hat{D}C\) e \(A\hat{B}D\cong D\hat{C}A\), in quanto \(A\hat{B}D=A\hat{B}C-D\hat{B}C\) e \(D\hat{C}A=D\hat{C}B-A\hat{C}B\), con \(A\hat{B}C\cong D\hat{C}B\) e \(D\hat{B}C\cong A\hat{C}B\): per cui, essendo \(DC\cong AB\), per il \(2^\circ\) criterio si ha la congruenza dei triangoli \(APB\) e \(PDC\). Infine, dalla congruenza dei triangoli \(OBP\)e \(OPC\) (\(3^\circ\) criterio), si ha in particolare \(B\hat{O}P\cong C\hat{O}P\): la retta \(OP\) è bisettrice dell’angolo \(B\hat{O}C\).
Massimo Bergamini
