Ricevo da Domenico la richiesta di calcolare il seguente limite:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\sqrt{{{x}^{4}}+x-1}-{{x}^{2}}\quad .\]
Ricevo da Domenico la seguente domanda:
Potrebbe aiutarmi nel calcolo del seguente limite?
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\sqrt{{{x}^{4}}+x-1}-{{x}^{2}}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Domenico,
per prima cosa trasformiamo il limite, che si presenta nella forma \(+\infty -\infty\), in una più familiare forma \(\frac{0}{0}\) grazie alla sostituzione \(t=\frac{1}{x}\), da cui: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\sqrt{{{x}^{4}}+x-1}-{{x}^{2}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{2}^{{{t}^{2}}}}\sqrt{\frac{1}{{{t}^{4}}}+\frac{1}{t}-1}-\frac{1}{{{t}^{2}}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}\sqrt{1+{{t}^{3}}-{{t}^{4}}}-1}{{{t}^{2}}}\] e quindi separiamo il limite in due addendi aggiungendo e togliendo a numeratore l’esponenziale \({{2}^{{{t}^{2}}}}\): \[\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}\sqrt{1+{{t}^{3}}-{{t}^{4}}}-1}{{{t}^{2}}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}\left( \sqrt{1+{{t}^{3}}-{{t}^{4}}}-1 \right)}{{{t}^{2}}}+\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}-1}{{{t}^{2}}}\] da cui: \[\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}\left( \sqrt{1+{{t}^{3}}-{{t}^{4}}}-1 \right)}{{{t}^{2}}}+\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}-1}{{{t}^{2}}}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{{{t}^{2}}}}t\left( 1-t \right)}{\sqrt{1+{{t}^{3}}-{{t}^{4}}}+1}+\underset{y\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{y}}-1}{y}=0+\ln 2=\ln 2\quad .\]
Massimo Bergamini
