Ricevo da Azzurra la seguente domanda:
Salve,
avrei bisogno di un aiuto per lo svolgimento del seguente quesito.
Discutere al variare del parametro \(k\) l'equazione:
\[\left\{ \begin{array}{ll} 3\sin x +\cos x=k \\ \frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2} \end{array} \right. \quad .\]
Grazie
Le rispondo così:
Cara Azzurra,
possiamo risolvere il sistema parametrico facendone un modello geometrico-analitico. Posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), il sistema risulta equivalente, nel piano \(X-Y\), al problema di determinare il numero di intersezioni tra un fascio (improprio) di rette e un arco della circonferenza goniometrica: \[\left\{ \begin{array}{lll} 3Y+X=k \\ X^2+Y^2=1 \\ 0\le X\le \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\le Y\le 1 \end{array} \right. \quad .\]
La retta del fascio (che al crescere di \(k\) “scorre verso l’alto” nel piano \(X-Y\)) passa per l’estremo \(A(0;1)\) dell’arco in corrispondenza al valore \(k=3\), e tale retta è una secante per l’arco stesso; per \(k=2\sqrt{2}\) la retta passa per l’estremo \(B\), e non incontra l’arco in altri punti; infine, per \(k=\sqrt{10}\) la retta del fascio è tangente all’arco \(AB\) nel punto \(T\), come si ricava dalla condizione che la distanza tra la retta del fascio e il centro \((0;0)\) sia pari a \(1\) (la scelta del valore positivo consegue da quanto detto riguardo al modo in cui la retta del fascio “si muove” al variare di \(k\)): \[\frac{\left| -k \right|}{\sqrt{9+1}}=1\to k=\pm \sqrt{10}\quad .\]
In conclusione: l’equazione ammette una soluzione accettabile per \(2\sqrt{2}\le k<3\), due soluzioni accettabili distinte per \(3\le k<\sqrt{10}\), due soluzioni accettabili coincidenti per \(k=\sqrt{10}\).
Massimo Bergamini