Punti di discontinuità

Ricevo da Lucia la seguente domanda: Caro professore, ho delle difficoltà con le discontinuità delle funzioni, potrebbe aiutarmi? (nn. 743, 752, 753, 754 pag.1550, Matematica.blu 2.0). \[f\left( x \right)=\ln \left| \frac{2x-1}{x-4} \right|\quad f\left( x \right)=\arctan \frac{2}{x-3}\quad f\left( x \right)=\frac{\tan x}{\left| x \right|}\quad f\left( x \right)=\frac{\sin x}{\left| x+\frac{\pi }{2} \right|-\frac{\pi }{2}}\quad .\] Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, nel primo caso la funzione non è definita nei punti \(x=\frac{1}{2}\), dove si annulla l’argomento e quindi sia ha \(\underset{x\to \frac{1}{2}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty\), e \(x=4\), dove si annulla il denominatore della frazione è quindi si ha \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty\): in entrambi i casi possiamo parlare di discontinuità di 2° specie. Nel secondo caso, poiché \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{\pi }{2}\ne \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\frac{\pi }{2}\), \(x=3\) risulta essere un punto di discontinuità di 1° specie. Nel terzo caso, oltre agli infiniti punti di discontinuità di 2° specie nei quali la tangente non è definita in quanto tendenzialmente infinita, cioè \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\), la funzione presenta in \(x=0\) un punto di discontinuità di 1° specie, essendo \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-1\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+1\). Nell’ultimo caso, poiché la funzione può essere scritta come \(f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\) se \(x\ge -\frac{\pi }{2}\ \wedge \ x\ne 0\), \(f\left( x \right)=-\frac{\sin x}{x+\pi }\) se \(x<-\frac{\pi }{2}\ \wedge \ x\ne -\pi\), si ha una discontinuità di 3° specie sia in \(x=0\), essendo \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\), sia in \(x=-\pi\), essendo \(\underset{x\to -\pi }{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{\sin x}{x+\pi } \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}=1\). Massimo Bergamini

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