Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gent.mo professore,
non riesco a risolvere questi due integrali definiti:
\[\int\limits_{0}^{\pi /4}{\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( 4x \right) \right)}dx\quad \quad \int\limits_{-\infty }^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}-4x}}dx\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
il primo integrale è immediato, in quanto \(1+{{\tan }^{2}}\left( 4x \right)\) è la derivata di \(\frac{1}{4}\tan \left( 4x \right)\), per cui: \[\int\limits_{0}^{\pi /4}{\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( 4x \right) \right)}dx=\frac{1}{4}\left[ \tan \left( 4x \right) \right]_{0}^{\pi /4}=\frac{1}{4}\left( \tan \pi -\tan 0 \right)=0\quad .\]
Il secondo è un integrale generalizzato, che equivale alla somma dei seguenti limiti:\[\int\limits_{-\infty }^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}-4x}}dx=\underset{k\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{k}^{-1}{\frac{1}{x\left( x-4 \right)}dx}+\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{-1}^{h}{\frac{1}{x\left( x-4 \right)}dx}+\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{t}^{1}{\frac{1}{x\left( x-4 \right)}dx}\] e poiché \(\frac{1}{x\left( x-4 \right)}=\frac{1}{4\left( x-4 \right)}-\frac{1}{4x}\), si ha: \[\int\limits_{-\infty }^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}-4x}}dx=\underset{k\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-4}{x} \right| \right]_{k}^{-1}+\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-4}{x} \right| \right]_{-1}^{h}+\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{4}\ln \left| \frac{x-4}{x} \right| \right]_{t}^{1}=\]\[=\frac{1}{4}\ln 5-\frac{1}{4}\underset{k\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{k-4}{k} \right|+\frac{1}{4}\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{h-4}{h} \right|-\frac{1}{4}\ln 5+\frac{1}{4}\ln 3-\frac{1}{4}\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{t-4}{t} \right|=\]\[=\frac{\ln 3}{4}-\frac{1}{4}\underset{k\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{k-4}{k} \right|+\frac{1}{4}\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{h-4}{h} \right|-\frac{1}{4}\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{t-4}{t} \right|\] ma poiché, a differenza del primo, gli ultimi due limiti sono entrambi infiniti, l’integrale non converge. Si può tuttavia parlare di una parte principale, nel senso di Cauchy, di tale integrale se si considera la reciproca “cancellazione” degli ultimi due integrali, cosa che si sarebbe verificata se (erroneamente) si fosse posto \(h=t\) negli estremi di integrazione: in tal caso, poiché \(\underset{k\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left| \frac{k-4}{k} \right|=\ln 1=0\), l’integrale si riduce alla cosiddetta parte principale \(\frac{\ln 3}{4}\).
Massimo Bergamini
