Teoremi di Rolle e Lagrange

Ricevo da Lucia la seguente domanda: Caro professore, ho alcune difficoltà con i teoremi di Rolle e Lagrange (ess. n.23, n.24, pag.1738, n.53, pag.1740, Matematica.blu 2.0, vol. V).

Data la funzione \(f\left( x \right)=3{{x}^{3}}+x+9\), verifica che l’equazione \(f(x)=0\) ammette una sola soluzione \(x_0\) e dimostra che \({{x}_{0}}\in \left[ -2;1 \right]\).
Stabilisci se l’equazione \(\ln x +2x=0\) ammette una sola soluzione nell’intervallo \(\left[ \frac{1}{8};1 \right]\).
Dimostra che la funzione \(y=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}\) è costante in \({{\mathbb{R}}^{-}}\) e \({{\mathbb{R}}^{+}}\) e trova il valore di \(y\).

Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, nel primo caso, innanzitutto la funzione ammette almeno uno zero in \(\mathbb{R}\) in quanto, essendo ovunque continua e tale che \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty\), per il teorema della permanenza del segno esistono sicuramente un \(a\) tale che \(f\left( x \right)<0\forall x\le a\) e un \(b\) tale che \(f\left( x \right)>0\forall x\ge b\), e pertanto nell’intervallo \(\left[ a,b \right]\) sono soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza degli zeri. L’unicità di tale zero \(x_0\) deriva dal fatto che la funzione, ovunque derivabile, ha derivata \(f'\left( x \right)=9{{x}^{2}}+1\), sempre strettamente positiva: se esistesse un secondo zero \(x_1\) distinto da \(x_0\), necessariamente, per il teorema di Rolle, \(f'\left( x \right)\) dovrebbe annullarsi almeno una volta in un punto compreso tra \(x_0\) e \(x_1\), cosa impossibile essendo \(f'\left( x \right)>0\) per ogni \(x\). In altro modo, si potrebbe giustificare l’unicità di \(x_0\) invocando il corollario del teorema di Lagrange che afferma la monotonia crescente di \(f(x)\) in tutto \(\mathbb{R}\) in quanto dotata di derivata strettamente positiva in tutto \(\mathbb{R}\): per annullarsi una seconda volta senza contraddire la continuità, \(f(x)\) dovrebbe decrescere, contraddicendo la monotonia. L’appartenenza di \(x_0\) all’intervallo \(\left[ -2;1 \right]\) è conseguenza immediata del fatto che \(f\left( -2 \right)=-17<0\) e \(f\left( 1 \right)=13>0\) (teorema di esistenza degli zeri). Nel secondo caso, posto \(f(x)=\ln x +2x\), poiché \(f\left( \frac{1}{8} \right)=-\ln 8+\frac{1}{4}<0\) e \(f(1)=2>0\), sempre per il teorema di esistenza degli zeri, possiamo dire che esiste almeno una soluzione \(x_0\) dell’equazione \(\ln x +2x=0\) nell’intervallo in questione: anche in tal caso, l’unicità consegue dalla stretta positività della derivata di \(f(x)\) nel dominio (connesso, cioè “fatto di un solo pezzo”) della funzione, ed in particolare nell’intervallo suddetto, essendo \(f'\left( x \right)=\frac{1}{x}+2>0\) per ogni \(x>0\). Infine, data la funzione \(y=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}\), definita in \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), dimostriamo che la sua derivata è ovunque nulla nel suo dominio: \[y'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}+1}=0\] e quindi, sia nell’insieme (connesso) \({{\mathbb{R}}^{-}}\) che nell’insieme (connesso) \({{\mathbb{R}}^{+}}\) valgono le ipotesi del corollario del teorema di Lagrange che afferma che una funzione con derivata sempre nulla in un intervallo è costante in quell’intervallo: infatti, poiché \(y(-1)=-\frac{\pi }{2}\), possiamo affermare che \(y(x)=-\frac{\pi}{2}\) per ogni \(x<0\), e poiché \(y(1)=\frac{\pi }{2}\), possiamo affermare che \(y(x)=\frac{\pi}{2}\) per ogni \(x>0\). Nota che sarebbe un errore affermare che, poiché \(y’(x)=0\) per ogni \(x\) nel dominio di \(y(x)\), allora \(y(x)\) deve essere costante in tutto il suo dominio. Il teorema di Lagrange permette di dedurre la costanza di una funzione a derivata nulla solo se tale condizione vale in un intervallo, anche eventualmente con uno o entrambi gli estremi infiniti, cioè in un insieme connesso: poiché nel nostro esempio il dominio non è connesso, ma composto dall’unione di due sottoinsiemi connessi, la costanza della funzione può essere affermata solo in ciascuno dei due sottoinsiemi separatamente, e la funzione nel suo complesso non può certo dirsi costante in tutto il suo dominio. Massimo Bergamini

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