Mario propone il seguente limite, da calcolarsi utilizzando il teorema di De L'Hospital:
\[\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}}{\tan x}\quad .\]
Ricevo da Mario la seguente domanda:
Salve professore,
ho provato a risolvere il seguente esercizio (n.268, pag.1756, Matematica.blu 2.0, Vol.5) concernente l'applicazione del teorema di De L'Hospital per la risoluzione di un limite nella forma indeterminata \(\frac{\infty }{\infty }\):
Calcola il seguente limite: \[\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}}{\tan x}\quad .\]
Applicando il teorema, la funzione tende a \(0\), ma il libro riporta come soluzione \(-\infty\). Ho sbagliato qualcosa?
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Mario,
direi di sì, poiché, passando al limite del rapporto delle derivate, si ha: \[\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}}{\tan x}=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}{{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=-\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x\cdot {{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}=-\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x\cdot \underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{1}{\cos x}}}=-1\cdot {{e}^{+\infty }}=-\infty \quad .\]
Massimo Bergamini
