Letizia chiede aiuto in merito al seguente quesito:
Verifica che tutte le curve integrali dell'equazione \(y'(x^2-x-6)=5y\) passano per uno stesso punto.
Ricevo da Letizia la seguente domanda:
Gentile Professore,
vorrei sottoporle il seguente problema:
Verifica che tutte le curve integrali dell'equazione \(y'(x^2-x-6)=5y\) passano per uno stesso punto.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Letizia,
l’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, oltre alla soluzione costante \(y=0\), ammette come soluzioni le funzioni \(y(x)\) che soddisfano alla seguente uguaglianza: \[\int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{dx}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}}\to \ln y=\ln \left| \frac{x-3}{x+2} \right|+c\to y\left( x \right)={{e}^{c}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\]
per cui, posto \({{e}^{c}}=k\), si ha l’integrale generale (inclusivo del caso \(y=0\)): \[y\left( x \right)=k\left| \frac{x-3}{x+2} \right|,\quad k\in {{\mathbb{R}}^{+}}\quad .\]
Pertanto, se cerchiamo gli eventuali punti comuni a due generiche curve integrali, diciamo \({{y}_{1}}\left( x \right)={{k}_{1}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\) e \({{y}_{2}}\left( x \right)={{k}_{2}}\left| \frac{x-3}{x+2} \right|\), con \({{k}_{1}}\ne {{k}_{2}}\), otteniamo l’uguaglianza: \[\left( {{k}_{1}}-{{k}_{2}} \right)\left| \frac{x-3}{x+2} \right|=0\to x=3\quad \forall {{k}_{1}},{{k}_{2}}\] cioè il punto \((3,0)\) appartiene ad ogni curva integrale dell’equazione in esame.
Massimo Bergamini
