Motocross Prima di una gara di motocross, lo staff tecnico del favorito analizza nel dettaglio una doppia semicurva, il cui andamento è simmetrico rispetto all’origine del sistema cartesiano indicato in figura. In blu è colorata la tangente nel punto \(A\).
a. Supponendo di poter approssimare l’andamento della curva con una funzione polinomiale di terzo grado, determina la sua espressione analitica.
b. Calcola le componenti, espresse in \(m/s\), del vettore velocità in corrispondenza del punto di ascissa \(x=-125\) nell’ipotesi di affrontare la curva a \(40\;m/s\).
Potrebbe aiutarmi? Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
essendo il polinomio di terzo grado in questione una funzione dispari, la sua equazione può essere solo del tipo \(y=ax^3+bx\), e la sua derivata, di conseguenza, \(y’=3ax^2+b\). Le condizioni note riguardo al punto \(A\) del grafico, si traducono nel seguente sistema, in cui per comodità abbiamo posto \(1,18=\frac{59}{50}\): \[\left\{\begin{array}{ll} a150^3+150b=69 \\ 3a150^2+b=\frac{59}{50} \end{array} \right.\] cioè: \[\left\{\begin{array}{ll} a150^3+150b=69 \\ a150^3+50b=59 \end{array} \right.\] da cui, sottraendo l’una all’altra le due equazioni: \(b={{10}^{-1}}\), \(a=1,6\cdot {{10}^{-5}}\), e quindi la funzione ha equazione \(y=1,6\cdot {{10}^{-5}}{{x}^{3}}+{{10}^{-1}}x\), e la sua derivata è \(y'=4,8\cdot {{10}^{-5}}{{x}^{2}}+{{10}^{-1}}\). Ne consegue che la retta tangente nel punto di ascissa \(x=-125\) ha pendenza \(y'\left( -125 \right)=0,85\): poiché questo è il valore della tangente dell’angolo \(\alpha\) formato dal vettore velocità (che è diretto secondo la tangente alla curva nel punto) con l’asse \(x\), si ha:
\[{{v}_{x}}=40\cos \alpha =40\sqrt{\frac{1}{1+{{0,85}^{2}}}}\approx 30,5\,m/s\]\[{{v}_{y}}=40\sin \alpha =40\frac{0,85}{\sqrt{1+{{0,85}^{2}}}}\approx 25,9\,m/s\quad .\]
Massimo Bergamini
