con riferimento alla figura, dalla proporzione assegnata ricaviamo subito che \(BC=3\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)a\) e quindi che \(HC=3\sqrt{3}a\). Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli \(OHC\), \(OHB\) e \(ODC\), abbiamo: \[O{{C}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}},\ O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}},\ C{{D}^{2}}+O{{D}^{2}}=O{{C}^{2}}\to \]\[\to O{{H}^{2}}+18{{a}^{2}}+C{{D}^{2}}=O{{H}^{2}}+27{{a}^{2}}\to\] \[C{{D}^{2}}=27{{a}^{2}}-18{{a}^{2}}\to CD=3a\quad .\]
Quindi l’area l’area del triangolo \(DCE\) è \(\frac{3\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\).
Massimo Bergamini
