Una funzione invertibile

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

non riesco a risolvere questo quesito, mi potrebbe aiutare?

La funzione \(y={{10}^{x+8}}\)  è invertibile? Perché? Quale ne è la derivata? Calcola la derivata della funzione inversa.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

la funzione in questione, definita, positiva e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) in quanto esponenziale, è invertibile perché monotona crescente in tutto il suo dominio, avendo derivata strettamente positiva per ogni \(x\in \mathbb{R}\): \[y’=\ln 10\cdot {{10}^{x+8}}\quad .\] La funzione inversa è ricavabile, in questo caso, “risolvendo” in termini di \(x\) l’espressione della funzione stessa, scambiando poi \(x\) e \(y\) per ottenere, come di consueto, una funzione \(y(x)\): \[{{\log }_{10}}y=x+8\to x={{\log }_{10}}y-8\to y={{\log }_{10}}x-8\quad .\] La derivata della funzione inversa è pertanto: \[y’=\frac{1}{\ln 10\cdot x}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione