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L'esperto di matematica

Una funzione integrale

Rispondo ad Evarist in merito al seguente quesito: Calcola la retta tangente al grafico della funzione \(y=f(x)\) in \(x=\frac{\pi }{4}\) sapendo che la sua funzione integrale è: \[F\left( x \right)=\int\limits_{2}^{x}{\left( \cos t+1 \right)dt}\quad .\]
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Ricevo da Evarist la seguente domanda:   Salve, non riesco a risolvere il seguente esercizio (pag.298, n.28, Matutor).   Calcola la retta tangente al grafico della funzione \(y=f(x)\) in \(x=\frac{\pi }{4}\)  sapendo che la sua funzione integrale è: \[F\left( x \right)=\int\limits_{2}^{x}{\left( \cos t+1 \right)dt}\quad .\] Grazie   Gli rispondo così:   Caro Evarist, poiché per ipotesi  \(f\left( x \right)=\cos x+1\), si ha semplicemente \[f\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\] e \[f'\left( \frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\] da cui la retta tangente richiesta: \[y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{8}\pi +\frac{\sqrt{2}}{2}+1\quad .\] Massimo Bergamini

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