Ricevo da Maria Rita la seguente domanda: Buonasera, vorrei un chiarimento in merito al seguente esercizio (n.74, pag.24, Verso la seconda prova di matematica 2016). Una vasca di gasolio In un magazzino di prodotti petroliferi il gasolio è stoccato in una vasca il cui contorno, riferito ad un sistema di riferimento cartesiano

O x y

, è delimitato dalle curve di equazione

y = f (x) = - x^{3} + 64 x

e

y = 0

, con

x

e

y

espressi in decimetri. La profondità della vasca è invece data, in ogni punto, dalla funzione

h (x) = x^{2} - 8 x

. Calcola il peso massimo del gasolio che può essere immagazzinato, sapendo che il suo peso specifico è

0, 85 k g / d m^{3}

. Grazie. Le rispondo così: Cara Maria Rita, si tratta di calcolare la capacità totale della vasca in decimetri cubi, utilizzando il seguente integrale (in ogni punto dell’intervallo

0 \leq x \leq 8

una sezione della vasca perpendicolare al piano

x y

è costituita da un rettangolo di lati

| f (x) | = - x^{3} + 64 x

e

| h (x) | = - x^{2} + 8 x

):

V = \int_{0}^{8} (- x^{3} + 64 x) (- x^{2} + 8 x) d x = \int_{0}^{8} (x^{5} - 8 x^{4} - 64 x^{3} + 512 x^{2}) d x =

= {[\frac{1}{6} x^{6} - \frac{8}{5} x^{5} - \frac{64}{4} x^{4} + \frac{512}{3} x^{3}]}_{0}^{8} = \frac{8^{6}}{20} = 13107, 2 d m^{3}

da cui il peso massimo del gasolio immagazzinabile nella vasca:

13107, 2 \cdot 0, 85 = 11141, 12 k g .

Massimo Bergamini