Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca

Un quesito d’esame

Lucia chiede aiuto in merito al seguente quesito d'esame: Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\).
Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, mi potrebbe spiegare questo esercizio (pag.2081, n.19, Matematica.blu 2.0)?   Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\). (Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione suppletiva, 2008, quesito 9)   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, la funzione \(F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) può vedersi come funzione composta delle funzioni \(y=\sqrt{\ln x}\) e \(G\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\), per cui \(F\left( x \right)=G\left( y\left( x \right) \right)\), e poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che \(G(x)\) è una primitiva della funzione integranda \(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}\) per ogni \(x\in \left[ 1,+\infty  \right[\), essendo questa continua in tale intervallo, si ha: \[F'\left( x \right)=G'\left( y\left( x \right) \right)\cdot y'\left( x \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{\ln x}\cdot \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\] e quindi: \[F'\left( e \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln e}}}}{\ln e}\cdot \frac{1}{2e\sqrt{\ln e}}=\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}\] e poiché \(F\left( e \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln e}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=\int\limits_{1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=0\), si ha la retta tangente nel punto \(P(e;0)\) al grafico di \(F(x)\): \[y=\frac{1}{2}\left( x-e \right)\quad .\] Si noti che la funzione \(F(x)\) non può essere ricvata esplicitamente come espressione analitica finita di \(x\), poiché l’integrale della funzione \(\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}\) non può essere calcolato in termini finiti. Massimo Bergamini

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento

Home zanichelli.it Ricerca in catalogo Contatti Home scuola Catalogo scuola Bisogni Educativi Speciali (BES) Formazione docenti Siti dei libri di testo Idee per insegnare in digitale Educazione civica per l'Agenda 2030 ZTE Zanichelli Test Collezioni Crea Verifiche Tutte le prove Verso l'INVALSI Tutti i siti Zanichelli per la scuola Home università Catalogo università Area docenti Area studenti Preparazione test di ammissione ZTE università ZTE UniTutor Collezioni Università Home dizionari Catalogo dizionari Dizionari digitali Dizionari Più Giuridico Manuali e saggi Medico professionale Chi siamo Contatti Area stampa Per acquisti online Filiali e agenzie Privacy e cookie Condizioni d’uso Centro assistenza