Un quesito d’esame

Ricevo da Lucia la seguente domanda: Caro professore, mi potrebbe spiegare questo esercizio (pag.2081, n.19, Matematica.blu 2.0)? Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\). (Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione suppletiva, 2008, quesito 9) Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, la funzione \(F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) può vedersi come funzione composta delle funzioni \(y=\sqrt{\ln x}\) e \(G\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\), per cui \(F\left( x \right)=G\left( y\left( x \right) \right)\), e poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che \(G(x)\) è una primitiva della funzione integranda \(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}\) per ogni \(x\in \left[ 1,+\infty \right[\), essendo questa continua in tale intervallo, si ha: \[F'\left( x \right)=G'\left( y\left( x \right) \right)\cdot y'\left( x \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln x}}}}{\ln x}\cdot \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\] e quindi: \[F'\left( e \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{\ln e}}}}{\ln e}\cdot \frac{1}{2e\sqrt{\ln e}}=\frac{e}{2e}=\frac{1}{2}\] e poiché \(F\left( e \right)=\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln e}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=\int\limits_{1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}=0\), si ha la retta tangente nel punto \(P(e;0)\) al grafico di \(F(x)\): \[y=\frac{1}{2}\left( x-e \right)\quad .\] Si noti che la funzione \(F(x)\) non può essere ricvata esplicitamente come espressione analitica finita di \(x\), poiché l’integrale della funzione \(\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}\) non può essere calcolato in termini finiti. Massimo Bergamini

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