Ricevo da Lucia la seguente domanda: Caro professore, mi potrebbe spiegare questo esercizio (pag.2081, n.19, Matematica.blu 2.0)? Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione:

\int_{1}^{\sqrt{\ln x}} \frac{e^{t}}{t^{2}} d t

nel punto

P

di ascissa

x = e

. (Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione suppletiva, 2008, quesito 9) Grazie. Le rispondo così: Cara Lucia, la funzione

F (x) = \int_{1}^{\sqrt{\ln x}} \frac{e^{t}}{t^{2}} d t

può vedersi come funzione composta delle funzioni

y = \sqrt{\ln x}

e

G (x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t^{2}} d t

, per cui

F (x) = G (y (x))

, e poiché per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

G (x)

è una primitiva della funzione integranda

\frac{e^{x}}{x^{2}}

per ogni

x \in [1, + \infty [

, essendo questa continua in tale intervallo, si ha:

F^{'} (x) = G^{'} (y (x)) \cdot y^{'} (x) = \frac{e^{\sqrt{\ln x}}}{\ln x} \cdot \frac{1}{2 x \sqrt{\ln x}}

e quindi:

F^{'} (e) = \frac{e^{\sqrt{\ln e}}}{\ln e} \cdot \frac{1}{2 e \sqrt{\ln e}} = \frac{e}{2 e} = \frac{1}{2}

e poiché

F (e) = \int_{1}^{\sqrt{\ln e}} \frac{e^{t}}{t^{2}} d t = \int_{1}^{1} \frac{e^{t}}{t^{2}} d t = 0

, si ha la retta tangente nel punto

P (e; 0)

al grafico di

F (x)

:

y = \frac{1}{2} (x - e) .

Si noti che la funzione

F (x)

non può essere ricvata esplicitamente come espressione analitica finita di

x

, poiché l’integrale della funzione

\frac{e^{t}}{t^{2}}

non può essere calcolato in termini finiti. Massimo Bergamini