Come è fatta l'equazione di un ponte?

«Se non conosci la matematica, ti cade il ponte!» Ovviamente è solo una battuta, ripresa da una Ted-Ed Conference di Eduardo Saenz de Cabezon, di cui possiamo gustarci il video:

In effetti nella storia dell’architettura, anche recente, di ponti caduti ce sono diversi: dall’ultimo in ordine cronologico, il ponte sul Mississippi, crollato nel 2007 per cedimenti strutturali, al più famoso Tacoma Bridge, immortalato in un impressionante video del 1940 che lo mostra nel suo sinistro ondeggiare prima del crollo, dovuto agli effetti di risonanza causati dal vento:

Se non per timore, vale la pena ripercorrere brevemente le forme matematiche dei ponti, almeno per lo stupore e l’ammirazione di queste ingegnose opere dell’uomo.

Quali forme matematiche nell’architettura dei ponti?

Tralasciando i più antichi ponti ad arco, andiamo a esplorare le forme dei ponti moderni, realizzati a partire dalla fine dell'Ottocento con i nuovi materiali, come il cemento armato e l'acciaio. Sulla forma matematica di questi ponti il dibattito è spesso accesso e i siti in rete spesso danno informazioni contradditorie, dividendosi tra chi assimila tali strutture principalmente alla forma di una parabola e chi invece alla catenaria, la curva che si ottiene fissando a due estremi una catena (o una fune omogenea), soggetta alla sola forza di gravità.

Catenaria e catenaria "rovesciata"

La confusione tra le due curve è in realtà legittima, visto che lo stesso Galileo Galilei si era sbagliato al riguardo; ci vollero gli studi di Huygens, Leibnitz e dei fratelli Bernoulli per ottenere, nel 1691, l’equazione matematica di una catenaria, che nella forma più semplice è il coseno iperbolico di x: \[\displaystyle y=\frac{e^x + e^{-x}}{2}\] e che in generale si può parametrizzare con \[\displaystyle y=\frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a})\]

Catenaria in Desmos: fai clic sull'immagine per accedere al sito e modificare la curva

La catenaria è stata usata in architettura perché, se collocata "rovesciata" verso il basso, genera una figura autoreggente, come emblematicamente rappresentato dal Gateway Arch a St Louis nel Missouri, costruito nel 1965.

Il Gateway Arch di St. Louis (immagine: Bev Sykes from Davis, CA, USA da Flickr)

La catenaria è stata inoltre resa celebre dai laboratori di Gaudì, che in fase di progettazione delle realizzazioni usava appendere catene e fili al soffitto per aiutarsi a immaginare le sue architetture seppure capovolte.

Modello di catenaria di Antoni Gaudì, Casa Milà, Barcellona (immagine: Etan J. Tal)

In genere la catenaria è la forma assunta dai tradizionali ponte sospesi di liane o di tronchi, come avviene, seppur in versione moderna, per questo impressionante nuovo ponte a Kusma, in Nepal, inaugurato nel 2010 e diventato una grande attrazione turistica con i suoi 135 m di altezza a strapiombo sopra il fiume Kaligandaki.

Il Kusma-Gyadi Bridge in Nepal (immagine: Basu Dahal)

Sul blog didatticarte potete trovare una bella narrazione sugli archi e i modelli di ponte dell'antichità. Il sito web del Pont du Gard offre invece una visita virtuale del ponte antico più alto del mondo, di cui vi mostriamo una veduta:

(immagine: Emanuele, 2007 su Flickr)

Catenarie o parabole?

Semplificando decisamente l’argomento, possiamo affermare che la catenaria "rovesciata" sia utilizzata a supporto della struttura portante dei ponti sorretti per compressione dal basso, mentre la parabola compare nei ponti sospesi la cui struttura è retta invece dall’alto, attraverso tiranti sostenuti da alte torri verticali. Sono esempi di ponti la cui forma è assimilabile a quella di una catenaria il ponte ferroviario Garabit (1881-1884), progettato da Gustave Eiffel, e il Millenium Bridge (2000) di Newcastle, la cui inclinazione angolare rispetto a terreno è compensata dai cavi che la sorreggono. .

A sinistra, il Garabit Bridge; a destra e Millenium Bridge (immagini: wikipedia commons)

Invece è tipicamente parabolica la forma dei ponti sospesi, come il Golden Gate, sulla baia di San Francisco.

Veduta del Golden Gate di San Francisco (immagine: wikipedia commons)

Come si dimostra che la forma del Golden Gate è una parabola?

La dimostrazione della forma parabolica dei ponti quali il Golden Gate si rende necessaria per coloro, e non sono pochi, che restano scettici al riguardo. Proviamo a darne una versione semplificata. Teniamo conto delle forze che agiscono sui cavi a causa del peso dell’impalcato e immaginiamo che ogni punto P del cavo che sorregge il peso del ponte sia soggetto a delle forze di trazione F_p e T e alla forza-peso W. La condizione di equilibrio statico si ottiene quando Fp è disposto secondo la retta di coefficiente angolare W/T, come mostrato nel disegno qui sotto a destra.

Se consideriamo che il peso dell'impalcato sia distribuito uniformemente, possiamo porre W = μx, cioè possiamo scrivere la forza-peso W come il prodotto tra la densità di peso lineare μ e l'intervallo orizzontale x considerato. Per intervalli infinitesimi di x la pendenza di F_p risulta \[\displaystyle y'=\frac{μx}{T}\] da cui \[\displaystyle y=\int{\frac{μx}{T}dx}=\frac{μ}{2T}x^2 + C\] che è l'equazione di una parabola con C = 0 nella rappresentazione scelta e illustrata qui sotto.

Quali sono le forme dei ponti strallati più moderni?

Nei moderni ponti strallati dove i tiranti non vengono più disposti a sorreggere verticalmente l’impalcato, ma sono collocati ad arpa o a ventaglio sui piloni, le forme si modificano e appaiono rettilinee. In questi casi gli effetti di luce ed estetici sono davvero notevoli come si può osservare nel caso del viadotto di Millau in Francia (2004).

Millau Bridge, Francia (immagine: millauviaduct.wikia.com)

Diversa infine la forma ispirata alla lira del re David del Chords Bridge (2008), realizzato da Santiago Calatrava all’ingresso di Gerusalemme come sopraelevata per il passante ferroviario.

Chords Bridge, Gerusalemme (immagine: wikipedia commons)

Qui appare di nuovo la forma parabolica, o meglio ancora, la curva di Bezier di secondo grado, una curva dalla forma "morbida e smussata" generata da una sequenza di punti e vincolata a passare solo per gli estremi della sequenza. Nel caso di tre punti la sua costruzione coincide con la generazione "a stringa" della parabola per inviluppo, come mostrato nella sequenza di immagini che seguono.

Forma a string art e curva di Bezier

Se vuoi sapere di più sulle curve di Bezier e scoprire quali sono i loro campi di applicazione, puoi proseguire la navigazione all'interno del sito di Aula di Scienze leggendo questo articolo dedicato alle animazioni digitali 3D.

E i ponti del futuro?

In attesa di scoprire le nuove forme avveniristiche dei ponti futuri, segnaliamo il ponte più recente, costruito in Cina (ottobre 2015) a Yuntaishan con la base interamente in vetro, adatto per essere attraversato solo dai più temerari, come è facile rendersi conto passando in rassegna questa galleria fotografica. In esso sembra concretizzarsi quanto scrive l’architetto Giulio Pizzetti sul ponte come simbolo di mediazione tra terra e cielo (da cui il termine Pontifex, "costruttore di ponti", attribuito al pontefice): «Balzo verso l’infinito e l’inconoscibile, tentativo di ricongiungimento con il soprannaturale e l’ultraterreno». Forse per questo i ponti ci colpiscono molto, ma la vera sfida è riuscire a percorrerli senza paura.