Non solo grafici, funzioni e problemi geometrici. Ma anche arma contro il crimine, strumento per il problem solving e molto altro ancora. Facciamo un viaggio alla scoperta degli utilizzi meno convenzionali dei sistemi di riferimento cartesiano-ortogonali.
Il sistema di assi cartesiani è indispensabile per disegnare grafici, rappresentare coniche e funzioni, per risolvere problemi geometrici e molto altro ancora; ma se di mestiere fate l'insegnante inevitabilmente ci saranno sempre studenti che vi chiederanno: «a che cosa servono nella realtà?».
Con ogni probabilità molti ragazzi non sanno, per esempio, che un sistema di assi cartesiani è stato alla base di un efficace algoritmo di prevenzione del crimine. E non stiamo parlando di straordinarie capacità di preveggenza come quelle raccontate nel film Minority Report, con il suo sistema "precrimine", ma di calcoli aritmetici semplici, come quelli che hanno portato all’arresto dello "Squartatore dello Yorkshire", un serial killer che negli anni ottanta ha sparso il terrore uccidendo una quindicina di donne in pochi anni.
Gli assi cartesiani la fanno poi da padrone in molteplici situazioni tipiche del problem solving e possono anche essere utilizzati per sviluppare nei più giovani abilità di modellizzazione.
In che modo l'utilizzo di un sistema di assi cartesiani può essere utile in ambito investigativo?
Come ha raccontato bene Mariano Tomatis nel suo libro Numeri assassini, edito da Kowalski, il meccanismo che porta all'individuazione dell'assassino, della sua abitazione, del suo nascondiglio si basa sul calcolo del baricentro (analitico) dei suoi delitti. L'idea di individuare il centro di gravità dei luoghi del crimine per incastrare un serial killer si basa sul presupposto che le vittime e i delitti sono scelti in un cerchio di azione che contiene i luoghi abitualmente frequentati dall’assassino. Proprio come espresso da Hannibal Lecter, che ne Il silenzio degli innocenti affermava in modo inquietante che «... il desiderio nasce da quello che osserviamo ogni giorno...».
È sufficiente dunque lavorare sulla mappa dei delitti, anziché con righello e matita come faceva l’investigatore Stuart Kind, magari con un file Geogebra in cui si sia inserita l’immagine della mappa e ricalcato i punti che rappresentano i luoghi del crimine, per calcolarne il baricentro (il punto che ha per coordinate le medie aritmetiche delle coordinate dei vari punti) e avere così buone chance di individuare l’abitazione del killer.
In un file Geogebra è possibile aprire il foglio di calcolo (dal menu "visualizza") e, selezionando i punti, ricopiarne automaticamente le coordinate nelle celle attraverso il menu contestuale del mouse destro (selezionando "registra sul foglio elettronico"). Ora è possibile calcolare il baricentro utilizzando la funzione "media" rispettivamente sulle ascisse e ordinate dei punti.
In realtà l’algoritmo usato per determinare il baricentro è stato fin da subito migliorato inserendo dei pesi per tener conto degli orari dei delitti. Questi, se avvenuti di notte, si ritenevano maggiormente distanziati dalla casa o dal "centro di gravità" dell’assassino.
Nel tempo l’algoritmo iniziale ha preso nuove e più sofisticate forme, dall’equazione di Kim Rossmo, al più recente algoritmo del Key Crime, che ha permesso alla Questura di Milano di risolvere preventivamente molteplici casi di rapina.
Interessante e utile provare, o far provare agli studenti, il calcolo del baricentro dei loro punti di frequentazione abituali. In tal caso anche le mappe personalizzate di Google Maps (da inserire in Geogebra) posso essere utili allo scopo, come mostrato in questo video:
Quali altri esempi di utilizzo degli assi cartesiani "in contesto" o per problem solving si possono fornire?
Un altro esempio ci è fornito da Dan Meyer sotto forma di piccola sfida online (ma riproducibile in classe anche su carta). Il suo lavoro in "3 atti", chiamato midpoint, propone a quattro o più sfidanti di disegnare due punti a caso sullo schermo e individuarne 'a occhio’ il punto medio.
Vince la sfida chi si avvicina di più al vero punto medio tra i due punti iniziali; ma l’individuazione del vincitore non è immediata e conduce alla ricerca dell’algoritmo o del criterio di scelta del punto medio ottimale.
Proposta agli studenti, l’attività richiede loro l’esame di più indicatori possibili (angoli e distanze tra punti per esempio), la verifica dei risultati e l’argomentazione delle scelte operate: in sostanza un vero lavoro di immedesimazione nel ruolo di un matematico.
Per chi volesse approfondire questo tipo di attività, interessanti sono le estensioni di questo lavoro per l’individuazione del miglior cerchio, o triangolo equilatero, o quadrato, tra quelli disegnati a mano libera dai quattro sfidanti.
In queste attività la soluzione ottimale non ha tuttavia nulla a che vedere con gli assi cartesiani e utilizza le proprietà di tali figure di presentare area massima per un dato perimetro.
Esistono altri software utili per familiarizzare con gli assi cartesiani?
In genere per abituare gli studenti al fatto che i problemi reali non hanno mai in partenza un dato sistema di assi cartesiani XOY, come avviene invece negli esercizi tradizionali di matematica, è utile mostrare come questo possa essere inserito opportunamente anche su video-esperimenti. Questo è quello che permette loro di fare uno strumento come Tracker, un interessante software di video analisi e modellizzazione per la fisica, che attraverso l’inserimento manuale e interattivo di un sistema di coordinate cartesiane permette di ottenere il tracciamento automatico di grafici e dati.
Uno screenshot del software Tracker
Quali attività si possono proporre per consolidare la capacità di rappresentazione di curve e le abilità di modellizzazione?
Per rendere sempre più intuitivo l’uso della geometria analitica e per favorirne la piena comprensione, appaiono particolarmente interessanti le attività didattiche proposte dal sito di calcolo grafico Desmos.
Tra queste, la sfida lanciata periodicamente agli studenti di realizzare specifici disegni (con vincoli sull’oggetto rappresentato e sul tipo e numero di elementi algebrici utilizzati), come Desman, o giochi del tipo ‘Indovina chi’ applicati a parabole o rette, con lo scopo di individuare il grafico dell’avversario e la corrispondente equazione, attraverso domande a risposta chiusa sì/no (per esempio: «Ha massimo in…?», «È crescente?», etc).
Infine, tra le attività proposte non mancano quelle legate alla modellizzazione matematica, come la previsione del numero di monete presenti in un cerchio al variare della sua dimensione. Il tutto sempre presentato sotto forma di sfida divertente, come è in realtà e come dovrebbe essere percepita la matematica.
Vince la sfida chi si avvicina di più al vero punto medio tra i due punti iniziali; ma l’individuazione del vincitore non è immediata e conduce alla ricerca dell’algoritmo o del criterio di scelta del punto medio ottimale.
Proposta agli studenti, l’attività richiede loro l’esame di più indicatori possibili (angoli e distanze tra punti per esempio), la verifica dei risultati e l’argomentazione delle scelte operate: in sostanza un vero lavoro di immedesimazione nel ruolo di un matematico.
Uno screenshot del software Tracker
