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Da elementi visuali al calcolo letterale

Usare semplici pattern di elementi geometrici per introdurre il calcolo letterale: un approccio per la didattica dell'algebra
Introdurre il calcolo letterale partendo da elementi visuali è stata la sfida raccolta dal californiano Fawn Nguyen, insegnante di matematica, che sul sito Visual Patterns pubblica materiali (inviati anche da altri docenti in rete) per lezioni propedeutiche all’algebra. Questi materiali sono di fatto le riproduzioni dei primi tre elementi di vari pattern, cioè di schemi geometrici ricorrenti o iterativi come quelli mostrati dal disegno 1 e dal disegno 2, che l’insegnante fornisce agli studenti insieme a relative schede di lavoro.
Disegno 1
Disegno 2
Nelle schede si chiede agli studenti di disegnare la figura attesa al quarto passo iterativo, di compilare una tabella con il numero di unità costitutive il disegno (sia ai primi passi che ad alcuni passi avanzati quali il 13.mo o 29.mo passo) e di descrivere con parole proprie o con un rapido schizzo, come potrebbe apparire lo schema a tali passi. Infine, obiettivo principe dell’attività, si chiede agli studenti di scrivere un’espressione (ma si può parlare direttamente di funzione) che metta in relazione il numero di unità con il numero di passi.
Tabella 1
Terminato il lavoro, gli studenti descrivono le soluzioni da loro ottenute ai compagni, scoprendo, non di rado, che le espressioni trovate per una stessa sequenza di pattern sono diverse. Per esempio, ecco un elenco di soluzioni equivalenti per il disegno 2 trovate da alcuni gruppi di studenti:
  • 2n(n + 1) + 3
  • 1 + (n2 + n2) + (n + 1) + (n + 1)
  • 2[n(n +1)] + 3
  • 2n(n + 1) + 3
  • 3 + [(n + 1)n] + [(n + 1)n]
  • 3 + 2(n + 1) + 2[(n + 1)(n - 1)]
  • 2n2 + 2n + 3
Inoltre, si può chiedere agli studenti di motivare le espressioni ottenute con altrettante immagini geometriche, come nel caso del disegno 3, esprimibile per differenza di aree come (n+2)2 -n2, ma anche nei diversi modi della tabella 2.
Disegno 3 Tabella 2
Nella parte finale della lezione il docente lavora con gli studenti per mostrare che le formule ottenute, se corrette, sono tutte equivalenti tra loro, come è possibile evidenziare attraverso l’uso della proprietà distributiva e di passaggi di semplificazione (non necessariamente teorizzati precedentemente). Il tutto avviene in una situazione didattica in cui gli studenti sentono tali passaggi come necessari e significativi per il lavoro appena concluso e finiscono per riconoscere l’importanza e la potenza della manipolazione simbolica, magari accompagnata dalla rappresentazione grafica delle funzioni ottenute.
Il sito lanciato da Fawn Nguyen è Visual Patterns: http://www.visualpatterns.org/. Vi contribuiscono diversi insegnanti anglofoni. Sul Disegno 3, vedi in particolare: http://fawnnguyen.com/2012/09/04/20120904.aspx sul sito di Fawn Nguyen.
Come estendere questo approccio a questioni algebriche più avanzate? L’approccio proposto è adattabile a questioni algebriche più avanzate come l’introduzione alle funzioni lineari e quadratiche. Henri Picciotto, per esempio, propone di lavorare su "treni" di pattern, richiedendo agli studenti di calcolare il perimetro P (o l’area) delle figure proposte in funzione dei blocchi n costitutivi.
Disegno 4
Nel caso dei perimetri dei "treni" riportati nel disegno 4, per esempio, si trova la generica formula lineare P = mn + b (per il pattern dei parallelogrammi risulta P = 2n + 2) e la si può rappresentare graficamente esaminando la variazione dei coefficienti m e b al variare dei blocchi.
Per un approfondimento sui "treni" di pattern, a questo indirizzo si trova il documento completo proposto da Henri Picciotto tratto dal sito Math Education Page.
In che modo si possono rendere i materiali più interattivi e multimediali? Questa è la domanda che, insieme agli apprezzamenti, è rimbalzata in rete tra i docenti di matematica che hanno sperimentato la proposta di Fawn Nguyen. Un primo metodo è quello di utilizzare animazioni automatiche che riproducano la costruzione dinamica di pattern (vedi Snake tratto da Geogebratube).   Un approccio più interessante sembra essere quello proposto da Dan Meyer nel video seguente:
Nel video, Dan Meyer riproduce un pattern che cresce al crescere del tempo, raggiungendo via via il contorno del rettangolo rosso che lo contiene. Un timer scandisce lo scorrere dei secondi a sottolineare il fattore tempo che Meyer considera essere il vero valore aggiunto dell’uso del media nell’approccio al problema. Infatti, la domanda che Dan Meyer si aspetta nasca dalla visione del filmato è la seguente: «a che istante il pattern raggiungerà o supererà il contorno del rettangolo che lo contiene?» oppure «quale sarà il colore della prima unità a toccare il contorno rettangolare?». In questo modo Meyer vorrebbe stimolare negli studenti la capacità di formulare le domande, di fornire stime delle possibili soluzioni e di richiedere eventuali dati non esplicitati, utili a risolvere il problema (in questo caso la dimensione del rettangolo). L’approccio proposto è sicuramente interessante nell’ambito di una didattica per competenze centrata sul problem solving, sul ragionamento per prove e errori, sulle capacità comunicative e collaborative degli studenti. È interessante rileggere in tale ottica alcuni principi base degli Standards per la Pratica Matematica descritti dai Common Core State Standars, quali:
  1. Dar un senso ai problemi e perseverare nel risolverli
  2. Ragionare in forma astratta e quantitativa
  3. Costruire argomentazioni
  4. Puntare alla precisione
  5. Ricercare la struttura
  6. Usare ragionamenti iterati
In conclusione ci piace immaginare che, per tale attività, si potrà presto fare uso di pattern relativi a immagini fotografiche particolarmente ispiratrici, come quelle sui "pattern nella natura" pubblicate sul sito del National Geographic.
Sul sito di Dan Meyer si può trovare tutta la sua trattazione (e i relativi video) per i Pixel Pattern: http://threeacts.mrmeyer.com/pixelpattern/. Potete anche seguire il suo blog: http://blog.mrmeyer.com/ Per gli Starndard per la Pratica Matematica, si possono trovare informazioni ulteriori su questo sito internet: corestandards.org
disegno2
disegno 3
disegno 4 a
disegno 4 b
disegno1-2
tabella1
tabella2
disegno4
snake
natgeopattern
disegno1-2

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