Come possiamo visualizzare il Pi greco?
Per aiutarci a visualizzare il Pi greco possiamo ricorrere alla sequenza delle sue cifre note che attualmente arrivano a più di 2.000.000.000.000.000 (2 x 1015 ben 2 trilioni) . Ci possiamo fare un’idea di quanto sia "interminabile" il loro elenco anche scorrendo solo il primo milione di cifre . Stampate nel 1973 in un libro di Jean Guillod e Matine Bouuyer (definito da qualcuno "il libro più noioso del mondo"), queste occupavano da sole ben 415 pagine. Oppure possiamo ricorrere alla nuova arte di visualizzazione dei dati utilizzata da Martin Krzywinski, bioinformatico al Genome Center in Canada, per realizzare immagini colorate delle cifre del Pi greco e tradurre così la vertigine dell’infinito numerico "in emozioni visuali". Ecco allora un trittico dai lavori del 2013 aventi per tema i punti o cerchi colorati:
Potete creare la vostra immagine personalizzata del Pi greco attraverso la visualizzazione interattiva che trovate cliccando questa pagina: cliccando sui cerchi si generano le connessioni a grafo, mentre cliccando sul simbolo di doppia freccia posto in alto, si possono scegliere il numero di righe e di colonne, impostare il raggio e la distanza tra i cerchi. E ovviamente salvare il tutto in formato immagine!
Le sperimentazioni visuali di Martin Krzywinski si sono sviluppate in forme nuove anno dopo anno e vale la pena esplorarle tutte nel suo sito (dove si trova anche il suo lavoro più recente in cui alle cifre di Pi greco viene associato un valore di massa, in onore della recente rilevazione delle onde gravitazionali) o su iniziative simili di altri autori. Le immagini più suggestive restano le due sotto, prodotte nel 2014, in cui le cifre successive del Pi greco vengono collegate da linee colorate (dal 3 all’1, dall'1 al 4 e cosi via) secondo un procedimento grafico riprodotto in questo video).
Nell'immagine qui sotto, accanto alle cifre (grigie e poco visibili) all'esterno del cerchio sono riportati in due anelli separati i punti colorati corrispondenti alla cifra di partenza e a quella di arrivo di ogni momento della sequenza. I punti diventano cerchi più ampi in caso di cifre ricorrenti, come avviene in alto con i due cerchi viola più ampi caratterizzanti il punto di Feynam.
Passando dalle arti grafiche a quelle musicali possiamo aiutarci a rappresentare e ricordare le cifre di Pi greco con una composizione al pianoforte.
C'è una relazione tra Pi greco e l’insieme frattale di Mandelbrot?
Nel 1991 David Bool scopre una relazione fino allora impensabile tra il Pi greco e l’insieme di Mandelbrot. Si tratta più di una verifica informatica che di una vera e propria dimostrazione, ma resta comunque un elemento di grande fascino.
Immagine dell'insieme (o frattale) di Mandelbrot (immagine: wikipedia)
L'insieme di Mandelbrot, immagine simbolo della teoria dei frattali, è costruito all'interno del piano complesso di Argand - Gauss. Per rappresentarlo si procede costruendo per ogni punto w = a+ib, di coordinate (a, b), una successione di valori iterati: z1= w, zn+1=zn2+ w
Sviluppando i calcoli, può succedere che dopo un certo numero di iterazioni il punto ottenuto esca dal contorno stabilito della figura (il cerchio critico con centro nell'origine e raggio 2). In tal caso il punto viene segnato di nero (o del colore associato al numero di iterazioni di uscita) e contribuisce al disegno dell'insieme di Mandelbrot. Diversamente se dopo un numero limite prefissato di iterazioni il punto non "esce" dal cerchio critico, lo si lascia bianco e non contribuisce al disegno.
Vediamo ora cosa succede se il valore considerato si trova nel punto che abbiamo indicato con A, all’estremo orizzontale o "collo" dell’insieme di Mandelbrot. Tale punto ha coordinate (0,25, 0). Più ci allontaniamo dal punto, più sarà rapida la sua evasione dal cerchio; ma più ci avviciniamo ad A, più ci aspettiamo che il numero di iterazioni richieste perché il punto esca dal cerchio critico si facciano alte. Sviluppando i calcoli per i punti sull'asse orizzontale in prossimità di A troviamo la seguente tabella di valori:
| w | numero di iterazioni di 'evasione dal cerchio critico' | |
| A + 0.1 | (0.26,0) | 30 |
| A + 0.001 | (0.2501.0) | 315 |
| A + 0.00001 | (0.250001,0) | 3140 |
Il numero di iterazioni di "evasione" dal cerchio critico, inserendo una virgola dopo la prima cifra 3, converge molto lentamente al valore di Pi greco! E questo, come nota Boll, avviene anche per un altro punto 'di confine' dell'insieme di Mandelbrot, quello di coordinate (-0,75, 0). Riuscite a trovarlo nella figura?
Come si usano i polinomi di Taylor per il calcolo di Pi greco?
La formule matematiche usate per calcolare Pi greco sono state tante nella storia della matematica e qui trovate un elenco completo. Alcune di queste appaiono inefficaci perché "convergenti molto lentamente", altre sono sorprendenti, come la recente formula BBP (dal nome degli ideatori Bailey-Borwein-Plouffe), di fatto un algoritmo di "estrazione", che permette di trovare una cifra di Pi greco (in rappresentazione binaria o esadecimale) senza conoscere quelle precedenti.
Ma le formule più belle restano quelle legate alla rappresentazione delle funzioni goniometriche attraverso i polinomi di Taylor. Questi permettono di approssimare "localmente" una funzione in un punto attraverso un polinomio che abbia gli stessi valori della funzione e delle sue derivate successive nel punto.
Nel nostro caso possiamo considerare lo sviluppo in serie di Taylor di artang(x) e calcolarne il valore in 1 per ottenere pi/4. Provate a spostare il punto nero dello slider k per visualizzare come varia il polinomio al variare di k!
In realtà la formula:
era stata trovata anni prima dell'ideazione dei polinomi di Taylor da Gregory, che la scrisse partendo dalla serie geometrica, sostituendo x2 al posto di -q e integrando.
Che cosa ha a che fare Pi greco con la poesia o la letteratura?
Intorno al Pi greco sono state scritte molte poesie, spesso finalizzate alla memorizzazione delle cifre del numero. Altre volte al Pi greco sono stati dedicati brevi brani letterari come quello che riportiamo qui sotto, tratto da Il Pendolo di Foucalt di Umberto Eco.
«Io sapevo - ma chiunque avrebbe dovuto avvertire nell’incanto di quel placido respiro - che il periodo [del pendolo n.d.r.] era regolato dal rapporto tra la radice quadrata della lunghezza del filo e quel numero Pi-greco che, irrazionale alle menti sublunari, per divina ragione, lega necessariamente la circonferenza al diametro di tutti i possibili cerchi – così che il tempo di quel vagare di una sfera dall’uno all’altro polo era effetto di una arcana cospirazione tra le più intemporali delle misure, l’unità del punto di sospensione, la dualità di una astratta dimensione, la natura ternaria di Pi greco, il tetragono segreto della radice, la perfezione del cerchio».
Tra immagini, musica, insiemi frattali, polinomi, formule e parole d'autore... Riuscite ora a immaginare il Pi greco?
