Agli indirizzi che compaiono di seguito potete trovare i testi completi, tradotti in italiano, dell'esame finlandese di matematica breve e matematica lunga.
Quindi tutti gli studenti del liceo hanno una prova di matematica alla maturità?
La risposta è sì; per la precisione la prova sarà di matematica breve o di matematica lunga. Se uno studente fallisce la prova in una materia oppure non è soddisfatto del punteggio, può ritentare l’esame in quella materia per altre due volte nelle sessioni successive (ci sono sessioni di maturità in primavera e in autunno). Il candidato può anche scegliere di sostenere la prova di matematica breve al posto di quella lunga, se per esempio rischia di compromettere tutto l’esame. L’importante è superare le prove di tutte le materie in non più di quattro sessioni consecutive.
Per avere maggiori informazioni sull’esame di maturità finlandese puoi consultare questa presentazione disponibile clicca qui.
Come è strutturata la prova di matematica?
Le prove di matematica contengono quindici esercizi. Il candidato deve svolgerne al massimo dieci; se svolge più esercizi, la commissione corregge tutti gli esercizi svolti, ma poi sceglie, per la valutazione, i dieci esercizi che totalizzano il punteggio minore.
Il compito è graduato in modo che gli esercizi che afferiscono a corsi non obbligatori si trovino in fondo alla sequenza. Tutti gli esercizi valgono un massimo di sei punti, tranne gli ultimi due della prova di matematica lunga che valgono fino a nove punti. Il tempo concesso è 5 ore.
Chi corregge le prove?
Le prove sono inizialmente corrette dai docenti della scuola, che danno una prima valutazione e segnalano tutti gli esercizi in cui hanno dubbi sull’attribuzione del punteggio. In seguito le prove vengono inviate a una commissione nazionale di esperti, che dà il parere definitivo e attribuisce il voto finale. La commissione che opera per la matematica è composta da quattro persone. I voti sono normalizzati nel modo indicato nella seguente tabella:
|
Percentuale dei candidati |
Sigla |
Dizione completa |
Punteggio minimo (nel 2014) |
|
5% |
L |
laudatur |
56 punti |
|
15% |
E |
eximiacum laude approbatur |
44 punti |
|
20% |
M |
magna cum laude approbatur |
35 punti |
|
24% |
C |
cum laude approbatur |
26 punti |
|
20% |
B |
lubenterapprobatur |
19 punti |
|
11% |
A |
approbatur |
13 punti |
|
5% |
I |
Improbatur (respinto) |
<13 punti |
Nel primo si verifica la conoscenza dei concetti di pendenza e di ordinata all’origine di una funzione lineare e la competenza di leggere questi valori su un grafico; nel secondo si verificano le conoscenze sulla nozione di soluzione di un’equazione, le competenze sul calcolo del valore di una funzione per un fissato INPUT e la risoluzione di una semplice equazione lineare.
Altri quesiti propongono testi più complessi. Per esempio il quesito 6 è un classico problema di massimo formulato in un contesto realistico. La risoluzione non è difficile, né contiene calcoli complessi, ma richiede più tempo e maggiori conoscenze e competenze rispetto ai quesiti 1 e 2. È necessario costruire un semplice modello matematico della situazione e poi coordinare informazioni che riguardano le tre variabili del problema (x, h e V), fino a esprimere il volume V in funzione di h (o di x) per calcolare il valore di h (o di x) che rende massimo V.
I dati contenuti nel testo consentono di scrivere le seguenti equazioni:
Area della superficie del telo: (x + 2h) · 1 = 10, da cui si ricava x = 10 – 2h.
Volume della catasta di tronchi: V = x · h · 1 = (10 – 2h)h = 10h – 2h2, h > 0.
V’(h) = 10 – 4h, il cui zero è h = 5/2.
Poiché il grafico della funzione V(h) è una parabola rivolta verso il basso, si tratta di un punto di massimo. Pertanto la larghezza è x = 10 – 2h = 5 (m) e l’altezza è 2,5 m.
Il quesito 11 è un classico esercizio di ottimizzazione lineare, ben graduato nelle richieste.
La prima richiesta è molto semplice: l’espressione che esprime il guadagno è
g(x,y) = 100x + 8y.
La risposta alla domanda b) è meno immediata, ma ancora relativamente semplice. Si tratta di esprimere i vincoli
Per rispondere al punto c) è bene sapere che il massimo della funzione g può trovarsi solo nei vertici del poligono individuato dai vincoli (con alcune considerazioni relative all’impossibilità di assumere certi valori per le due variabili). Si ottiene quindi che il massimo guadagno si ha se x = 100 e y = 0. Alla spia conviene quindi copiare solo file immagine, ossia i 100 file immagine che stanno nella chiavetta digitale che può utilizzare.
Quali sono i temi trattati nei problemi?
Circa il 60% dei quesiti della prova di matematica breve sono contestualizzati: gli studenti devono utilizzare e costruire modelli matematici per affrontare situazioni realistiche. Si può discutere su quanto queste situazioni realistiche siano significative. Per esempio nel quesito 11, la spia industriale è alquanto caricaturale: utilizza una pen drive che contiene solo 1 Mb di memoria libera! E chissà poi quali delicati e importanti segreti conterranno file immagine da 10 kb e file testo da 1 kb! Insomma, ci lamentiamo del MIUR che nella simulazione del 25 marzo ha proposto una teca cilindrica per contenere un mappamondo, ma anche in Finlandia gli estensori delle prove, almeno in questo quesito, non sembrano essere da meno!
Va però apprezzato che i contesti proposti nella prova finlandese non sono tali da disorientare lo studente o da complicargli eccessivamente la vita. Per esempio non sono contesti che mascherano il problema, come è invece risultato il contesto del primo problema della simulazione del MIUR del 25 marzo, dove il riferimento a meteoriti, videogiochi, equazioni del moto, urti … era talmente ricco da disorientare gli studenti, molti dei quali si sono posti inutili, ma lecite, domande sulla fisica da utilizzare per rispondere alle richieste.
I quesiti finlandesi non incorrono nel rischio che anche lo studente che ha le conoscenze per affrontare un problema lo abbandoni a causa dell’eccessiva ricchezza del contesto.
Qualche quesito ricorda le prove INVALSI?
Diversi quesiti hanno richieste simili a quelle delle nostre prove INVALSI del livello 10.
Si confronti il quesito numero 3 della prove di matematica breve finlandese con la domanda numero 5 del fascicolo 1 della prova INVALSI del livello 10 dell’a.s. 2013-2014.
Ciò suggerisce che, almeno in teoria, gli studenti che completano il nostro obbligo scolastico dovrebbero avere una preparazione sufficiente a difendersi in una prova di matematica breve alla maturità finlandese.
Anche il quesito 8, che considero ben formulato (semplice ma non banale, con richieste graduate), ricorda la domanda 3 del fascicolo 1 del test INVALSI livello 10 dell’a.s. 2012 – 2013.
Altri quesiti sono invece più semplici di quelli in genere proposti agli studenti italiani. Per esempio i quesiti 1, 2 e 5.
Interessante il quesito 3, che riguarda le variazioni percentuali, argomento purtroppo non usuale nelle nostre prove, anche se la simulazione del 25 marzo induce a sperare che qualcosa in futuro cambi. Il quesito è semplice, ma non banale: la risposta è alla portata di qualunque studente che possieda competenze relative alla scelta di rappresentazioni adeguate per gestire le variazioni percentuali. Questo è un tipico caso in cui utilizzare una notazione moltiplicativa invece che additiva è fondamentale per riuscire a rispondere con completezza.
Se una quantità x aumenta del 10% possiamo scrivere x + 0.1x, utilizzando una notazione additiva, ma possiamo scrivere anche 1.1x, utilizzando una notazione moltiplicativa. La notazione moltiplicativa è di enorme aiuto nell’affrontare situazioni di numerose variazioni percentuali successive, come in questo problema. Se il numero di madrelingua stranieri è cresciuto del 7.5% in ciascuno dei 10 anni dal 2003 al 2013, vuol dire che è passato da x a x(1.075)10. Se poi è raddoppiato nel periodo 2013 – 2003 vuol dire che è passato da x(1.075)10 a 2x(1.075)10 pari a circa 4,1221x. Quindi l’aumento percentuale è stato di circa 412.21%.
Si tratta ora di determinare un tasso di incremento percentuale medio p tale che (1 + p)30 = 4.1221
da cui si ottiene 
.
Anche nella prova di matematica lunga prevalgono gli esercizi contestualizzati?
Nella prova di matematica lunga, i contesti hanno minore rilievo rispetto alla prova di matematica corta. Gli unici problemi il cui testo è esplicitamente calato in un contesto sono l’8 e il 9.
Ma ciò è facilmente spiegabile. La prova di matematica lunga è finalizzata a verificare il possesso di competenze matematiche più elevate rispetto alla prova di matematica breve, e per far questo non è necessario proporre problemi contestualizzati: è sufficiente proporre buoni problemi di matematica. Il contesto di un problema di matematica può essere anche interno alla matematica stessa; ciò che è importante è che il problema sia in grado di valutare correttamente il possesso delle competenze e conoscenze che è chiamato a valutare. Una riflessione sulla scelta fatta in Finlandia potrebbe essere particolarmente utile ai docenti incaricati di preparare simulazioni per la seconda prova scritta all’esame di maturità dei licei scientifici e delle scienza applicate: non è necessario cercare contesti in cui situare un buon problema di matematica. Ovviamente non è nemmeno vietato, ma piuttosto che correre il rischio di costruire una situazione poco credibile, forzata o eccessivamente ricca, meglio evitare di contestualizzare!
In Finlandia è consentito l’uso delle calcolatrici grafico-simboliche durante la prova. È giusto utilizzarle?
In generale le prove possono essere strutturate in modo che il ricorso allo strumento di calcolo non favorisca, né ostacoli la risoluzione. Per esempio nel primo problema dell’esame di maturità del PNI dell’anno scolastico passato, dove si assegna il grafico di una funzione g su un certo intervallo I e si chiede di determinare il grafico di una sua primitiva su I, la calcolatrice grafico–simbolica non favorisce né ostacola la risoluzione del problema.
Lo studente abituato a utilizzare la calcolatrice grafico–simbolica potrebbe essere portato a seguire approcci più sperimentali, empirici, caratterizzati dalla ricerca di formule di funzioni che hanno grafici simili a quello proposto dal testo, in modo tale da poter poi utilizzare il potente apparato di calcolo per risolvere il problema. È normale che chi usa certi strumenti possa impostare la risoluzione di un problema in modo diverso da chi usa altri strumenti: se il significato degli oggetti matematici emerge da un insieme di pratiche messe in atto per risolvere problemi, è normale che diverse pratiche diano luogo a diversi approcci risolutivi e, alla lunga, anche a diversi sensi, se non addirittura a diversi significati degli oggetti matematici.
Nel caso dei problemi proposti agli studenti finlandesi la garanzia che il possesso o meno della calcolatrice grafica o grafico–simbolica non sia decisiva per la risoluzione del problema è data dalla richiesta di giustificare la risposta. La calcolatrice può aiutare lo studente a calcolare la riposta corretta, ma dà ben pochi suggerimenti sul perché la risposta è corretta. Chiedere quindi sempre di giustificare, di argomentare, di esibire i calcoli rende un buon quesito di matematica indipendente dall’uso della calcolatrice o meno.
Su quali argomenti è incentrato l'ultimo esercizio della prova lunga, presumibilmente il più difficile?
È il numero 15, uno dei due quesiti da 9 punti. L’argomento è del tutto interno alla matematica e mette in luce competenze assai diversificate:
a) comprensione del testo
b) osservare regolarità e produrre congetture in base alla fase di esplorazione
c) calcolo
d) validazione delle congetture.
Per rispondere al punto c) è bene sapere che il massimo della funzione g può trovarsi solo nei vertici del poligono individuato dai vincoli (con alcune considerazioni relative all’impossibilità di assumere certi valori per le due variabili). Si ottiene quindi che il massimo guadagno si ha se x = 100 e y = 0. Alla spia conviene quindi copiare solo file immagine, ossia i 100 file immagine che stanno nella chiavetta digitale che può utilizzare.
Quali sono i temi trattati nei problemi?
Circa il 60% dei quesiti della prova di matematica breve sono contestualizzati: gli studenti devono utilizzare e costruire modelli matematici per affrontare situazioni realistiche. Si può discutere su quanto queste situazioni realistiche siano significative. Per esempio nel quesito 11, la spia industriale è alquanto caricaturale: utilizza una pen drive che contiene solo 1 Mb di memoria libera! E chissà poi quali delicati e importanti segreti conterranno file immagine da 10 kb e file testo da 1 kb! Insomma, ci lamentiamo del MIUR che nella simulazione del 25 marzo ha proposto una teca cilindrica per contenere un mappamondo, ma anche in Finlandia gli estensori delle prove, almeno in questo quesito, non sembrano essere da meno!
Va però apprezzato che i contesti proposti nella prova finlandese non sono tali da disorientare lo studente o da complicargli eccessivamente la vita. Per esempio non sono contesti che mascherano il problema, come è invece risultato il contesto del primo problema della simulazione del MIUR del 25 marzo, dove il riferimento a meteoriti, videogiochi, equazioni del moto, urti … era talmente ricco da disorientare gli studenti, molti dei quali si sono posti inutili, ma lecite, domande sulla fisica da utilizzare per rispondere alle richieste.
I quesiti finlandesi non incorrono nel rischio che anche lo studente che ha le conoscenze per affrontare un problema lo abbandoni a causa dell’eccessiva ricchezza del contesto.
Qualche quesito ricorda le prove INVALSI?
Diversi quesiti hanno richieste simili a quelle delle nostre prove INVALSI del livello 10.
Si confronti il quesito numero 3 della prove di matematica breve finlandese con la domanda numero 5 del fascicolo 1 della prova INVALSI del livello 10 dell’a.s. 2013-2014.
Ciò suggerisce che, almeno in teoria, gli studenti che completano il nostro obbligo scolastico dovrebbero avere una preparazione sufficiente a difendersi in una prova di matematica breve alla maturità finlandese.
Anche il quesito 8, che considero ben formulato (semplice ma non banale, con richieste graduate), ricorda la domanda 3 del fascicolo 1 del test INVALSI livello 10 dell’a.s. 2012 – 2013.
INVALSI ha appena completato la costruzione di un database che raccoglie tutte le prove finora proposte nei diversi livelli, con vari sistemi di classificazione e indicizzazione. Il database è consultabile scrivendo a info@gestinv.it, indicando nome, cognome ed eventuale scuola di servizio, per ricevere le credenziali di accesso.
Come è strutturata, invece, la prova di matematica lunga?
Anche per questa prova si possono fare considerazioni sulla ricchezza dei quesiti, sia per i contenuti, sia per le differenze di complessità e difficoltà tra i quesiti stessi, anche quando il punteggio attribuito è lo stesso. Notiamo che i quesiti si distribuiscono in modo uniforme rispetto agli argomenti: 3 quesiti di geometria, 3 di relazioni funzioni, 1 di relazioni e funzioni in ambiente geometrico; 3 di dati e previsioni e 3 di aritmetica e algebra.
Ci sono quesiti della matematica lunga che ricordano quelli della maturità italiana?
In particolare i quesiti 4, 7, 12 e 13 potrebbero essere tranquillamente inseriti in una qualunque delle prove di maturità italiana, sia del liceo scientifico di ordinamento, sia della sperimentazione PNI o Brocca.
Altri quesiti sono invece più semplici di quelli in genere proposti agli studenti italiani. Per esempio i quesiti 1, 2 e 5.
Interessante il quesito 3, che riguarda le variazioni percentuali, argomento purtroppo non usuale nelle nostre prove, anche se la simulazione del 25 marzo induce a sperare che qualcosa in futuro cambi. Il quesito è semplice, ma non banale: la risposta è alla portata di qualunque studente che possieda competenze relative alla scelta di rappresentazioni adeguate per gestire le variazioni percentuali. Questo è un tipico caso in cui utilizzare una notazione moltiplicativa invece che additiva è fondamentale per riuscire a rispondere con completezza.
Se una quantità x aumenta del 10% possiamo scrivere x + 0.1x, utilizzando una notazione additiva, ma possiamo scrivere anche 1.1x, utilizzando una notazione moltiplicativa. La notazione moltiplicativa è di enorme aiuto nell’affrontare situazioni di numerose variazioni percentuali successive, come in questo problema. Se il numero di madrelingua stranieri è cresciuto del 7.5% in ciascuno dei 10 anni dal 2003 al 2013, vuol dire che è passato da x a x(1.075)10. Se poi è raddoppiato nel periodo 2013 – 2003 vuol dire che è passato da x(1.075)10 a 2x(1.075)10 pari a circa 4,1221x. Quindi l’aumento percentuale è stato di circa 412.21%.
Si tratta ora di determinare un tasso di incremento percentuale medio p tale che (1 + p)30 = 4.1221
da cui si ottiene 
.
Anche nella prova di matematica lunga prevalgono gli esercizi contestualizzati?
Nella prova di matematica lunga, i contesti hanno minore rilievo rispetto alla prova di matematica corta. Gli unici problemi il cui testo è esplicitamente calato in un contesto sono l’8 e il 9.
Ma ciò è facilmente spiegabile. La prova di matematica lunga è finalizzata a verificare il possesso di competenze matematiche più elevate rispetto alla prova di matematica breve, e per far questo non è necessario proporre problemi contestualizzati: è sufficiente proporre buoni problemi di matematica. Il contesto di un problema di matematica può essere anche interno alla matematica stessa; ciò che è importante è che il problema sia in grado di valutare correttamente il possesso delle competenze e conoscenze che è chiamato a valutare. Una riflessione sulla scelta fatta in Finlandia potrebbe essere particolarmente utile ai docenti incaricati di preparare simulazioni per la seconda prova scritta all’esame di maturità dei licei scientifici e delle scienza applicate: non è necessario cercare contesti in cui situare un buon problema di matematica. Ovviamente non è nemmeno vietato, ma piuttosto che correre il rischio di costruire una situazione poco credibile, forzata o eccessivamente ricca, meglio evitare di contestualizzare!
In Finlandia è consentito l’uso delle calcolatrici grafico-simboliche durante la prova. È giusto utilizzarle?
In generale le prove possono essere strutturate in modo che il ricorso allo strumento di calcolo non favorisca, né ostacoli la risoluzione. Per esempio nel primo problema dell’esame di maturità del PNI dell’anno scolastico passato, dove si assegna il grafico di una funzione g su un certo intervallo I e si chiede di determinare il grafico di una sua primitiva su I, la calcolatrice grafico–simbolica non favorisce né ostacola la risoluzione del problema.
Lo studente abituato a utilizzare la calcolatrice grafico–simbolica potrebbe essere portato a seguire approcci più sperimentali, empirici, caratterizzati dalla ricerca di formule di funzioni che hanno grafici simili a quello proposto dal testo, in modo tale da poter poi utilizzare il potente apparato di calcolo per risolvere il problema. È normale che chi usa certi strumenti possa impostare la risoluzione di un problema in modo diverso da chi usa altri strumenti: se il significato degli oggetti matematici emerge da un insieme di pratiche messe in atto per risolvere problemi, è normale che diverse pratiche diano luogo a diversi approcci risolutivi e, alla lunga, anche a diversi sensi, se non addirittura a diversi significati degli oggetti matematici.
Nel caso dei problemi proposti agli studenti finlandesi la garanzia che il possesso o meno della calcolatrice grafica o grafico–simbolica non sia decisiva per la risoluzione del problema è data dalla richiesta di giustificare la risposta. La calcolatrice può aiutare lo studente a calcolare la riposta corretta, ma dà ben pochi suggerimenti sul perché la risposta è corretta. Chiedere quindi sempre di giustificare, di argomentare, di esibire i calcoli rende un buon quesito di matematica indipendente dall’uso della calcolatrice o meno.
Su quali argomenti è incentrato l'ultimo esercizio della prova lunga, presumibilmente il più difficile?
È il numero 15, uno dei due quesiti da 9 punti. L’argomento è del tutto interno alla matematica e mette in luce competenze assai diversificate:
a) comprensione del testo
b) osservare regolarità e produrre congetture in base alla fase di esplorazione
c) calcolo
d) validazione delle congetture.
