Per tutti i dettagli sul funzionamento dell’indagine PISA, si può consultare il sito dell’OCSE Programme for International Student Assessment (in inglese).
In italiano si può consultare il sito del Ministero dell’Istruzione dell’Università e della Ricerca alla pagina OCSE-PISA 2012.
Si può affermare che un miglioramento nelle risposte ai test PISA di matematica indichi un progresso nella formazione matematica degli studenti italiani?
La risposta affermativa non deve essere scontata: molte sono le perplessità, non solo in Italia, sulle scelte di PISA relativamente definizione di competenza matematica.
Per competenza matematica o “mathematical literacy”, PISA intende la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica e di darne rappresentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e con un ruolo costruttivo.
Infatti diversi insegnanti e alcuni ricercatori in didattica lamentano un’eccessiva attenzione di PISA agli aspetti utilitaristici della matematica a scapito di alcune peculiarità del pensiero matematico che caratterizzano la tradizione italiana: l'attenzione alla sistemazione delle conoscenze in teorie e il ruolo centrale che giocano le dimostrazioni nello sviluppo della disciplina; la richiesta di precisare e giustificare le strategie messe in atto per affrontare e risolvere problemi; l'interesse per lo sviluppo storico–critico del pensiero matematico.
Chi è perplesso sulla definizione di competenza matematica individuata da PISA spesso denuncia anche il pericolo di una vera e propria globalizzazione culturale che potrebbe rischiare di nascondere e portare all'estinzione quelle peculiarità del pensiero matematico sopra elencate.
Ho però l'impressione che, purtroppo, il dibattito intorno alle prove PISA rischi di riprodurre quella contrapposizione tra visione formativa e visione utilitaristica della matematica ritenuta sterile e fittizia da molti addetti ai lavori. Mi limito a ricordare quanto affermarono, relativamente a questa problematica, due grandi matematici come Federigo Enriques e Lucio Lombardo Radice, che non possono certo essere considerati estranei alla tradizione italiana:
«[…] Se in un certo senso ogni scuola professionale è anche - in qualche grado e modo - formativa, per contro la scuola più eminentemente formativa deve sapersi valere delle applicazioni pratiche, per suscitare l'interesse dei discepoli meno sensibili alla bellezza della teoria astratta, ed anche per educare l'abito a riconoscere l'astratto nelle particolari esemplificazioni concrete, posto che la nostra scuola non debba servire agli abitanti dell'isola di Laputa!»
Federigo Enriques, in “L’insegnamento dinamico”.
«Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia, cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non continuerei a farlo).»
Lucio Lombardo Radice
Se si presta la dovuta attenzione non solo a quanto hanno scritto Federigo Enriques e Lucio Lombardo Radice, ma anche all’insegnamento di Emma Castelnuovo, si può comprendere che la specificità della migliore tradizione italiana nell’insegnamento–apprendimento della matematica è proprio quella di avere rifiutato una contrapposizione tra matematica utile e matematica formativa, affermando la necessità di integrare applicazioni e pensiero teorico in ogni proposta di insegnamento che desideri essere utile alla formazione della persona:
«Per insegnare a "saper vedere" e, intendo dire vedere con gli occhi fisici e vedere anche con gli occhi della mente, bisogna insegnare a fare le cose: a osservare, a sperimentare, a ragionare, a intuire. È l’insegnamento della matematica ed è l’insegnamento delle scienze sperimentali che devono provvedere a questa formazione.»
Emma Castelnuovo in "Verso un insegnamento della matematica che produce cultura scientifica"
È proprio nel laboratorio di matematica, un ambiente di insegnamento–apprendimento caratterizzato dall'uso degli strumenti e dall'attenzione all'interazione sociale come modalità per favorire la costruzione di significati degli oggetti di studio, che si realizza il superamento della sterile contrapposizione tra “matematica utile” e “matematica formativa”.
Chi desideri approfondire il concetto di laboratorio di matematica, sia dal punto di vista storico, sia teorico, sia pratico può far riferimento alle pagine dedicate sull’argomento dalla CIIM, la Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica.
Qual è stato l’apporto più significativo di PISA per l’insegnamento-apprendimento della matematica in Italia?
Nonostante i suggerimenti di grandi matematici come Lucio Lombardo Radice e Federigo Enriques, nonostante l’esempio di Emma Castelnuovo e dei progetti nati nell’ambito della ricerca didattica, la prassi dell’insegnamento della matematica in Italia ha spesso prestato pochissima attenzione alle applicazioni. Per questo motivo, nonostante i rischi ai quali si è fatto cenno in precedenza, e che devono essere tenuti nella giusta considerazione, i test PISA hanno avuto il pregio di avviare in Italia, e non solo in Italia, un dibattito che ha portato a prestare più attenzione agli aspetti applicativi della matematica.
D’altra parte, sia l’attuale definizione fornita da PISA per la competenza matematica, sia le caratteristiche delle domande delle prove di matematica, sono figlie di un gruppo di esperti presieduto da Jan De Lange, che ha diretto il Freudenthal Institute e che quindi non dovrebbe essere considerato come un fautore di una visione prettamente utilitaristica della matematica. Freudenthal ha sempre fatto riferimento a due dimensioni fortemente intrecciate e ugualmente importanti nello sviluppo del pensiero matematico e dell’insegnamento della matematica: la dimensione orizzontale, cioè delle applicazioni, e quella verticale, della riflessione interna alla matematica. Questa idea fu ripresa dalla commissione che scrisse i programmi del PNI (Piano Nazionale dell’Informatica), in particolare da Giovanni Prodi, che parlò di due spinte fondamentali nello sviluppo della matematica: una esterna, attenta alle applicazioni, e l’altra interna, che riflette sui concetti via via costruiti e sistemati.
Chi desiderasse approfondire la conoscenza dei contributi di Hans Freudenthal alla didattica della matematica può leggere l’introduzione di Carlo Felice Manara al libro di Hans Freudenthal, "Ripensando l’educazione matematica," edito dalla casa editrice La Scuola.
Un esempio di utilizzazione didattica delle prove PISA.
Le precedenti considerazioni suggeriscono che PISA possa giocare un ruolo positivo per l’insegnamento della matematica in Italia, purché si accolgano gli elementi più innovativi senza rinunciare alle caratteristiche della nostra tradizione. In altri termini: sì alla contaminazione, ma no all'assoggettamento culturale. Tutto ciò può realizzarsi se la dimensione pragmatica di PISA viene considerata dalla prospettiva della tradizione italiana, più attenta al pensiero teorico e allo sviluppo storico-epistemologico.
Cerco di spiegare, prendendo spunto da una delle domande rilasciate da PISA 2003, che cosa intendo quando parlo del ruolo positivo che i test PISA possono giocare nell’insegnamento–apprendimento della matematica, se sono considerati alla luce della nostra tradizione.
Domanda di PISA 2003 rilasciata
Maria abita a 2 km di distanza dalla scuola e Martina a 5. Quanto abitano lontane Maria e Martina l’una dall’altra?
Quando il problema fu presentato agli insegnanti, vi furono reazioni diversificate: alcuni considerarono il quesito banale, perché, a loro avviso, era sufficiente eseguire la sottrazione 5 km – 2 km per rispondere; altri criticarono il quesito perché ritenevano che la risposta non potesse essere individuata da un unico numero; altri invece giudicarono il quesito molto interessante proprio perché la possibilità di fornire diverse risposte, richiedeva competenze di matematizzazione non banali e un approccio tipico del problem solving.
In effetti, per rispondere, è opportuno fare alcune ipotesi. Se si scarta il caso banale in cui le posizioni della scuola e delle abitazioni di Maria e Martina sono situate su una stessa retta, si può supporre che la situazione possa essere rappresentata su una superficie piana e che le distanze siano calcolate in linea retta. Si tratta di ipotesi non banali, ma ragionevoli, dato che non vengono fornite altre informazioni e le distanze sono relativamente piccole.
In questo caso, indicati con S, R e T i punti che rappresentano, rispettivamente, le posizioni della scuola, di Maria e di Martina, il problema può essere rappresentato con il seguente modello geometrico:
La risposta è che la distanza che separa la casa di Maria da quella di Martina può essere un qualunque numero di kilometri compreso tra 3 e 7.
Una risposta equivalente può essere 5 km con un’incertezza di 2 km, cioè del 40%. La risposta è precisa, anche se il margine di incertezza è elevato: ma ciò dipende dalle informazioni di cui si dispone, non dal fatto che il problema sia mal posto.
Un problema di questo tipo, se proposto in classe e discusso nei suoi vari aspetti, può anche portare a una riflessione sulla inevitabile presenza di approssimazioni e delle relative incertezze in ogni problema reale.
Si può però fare notare agli studenti che non solo i problemi reali sono caratterizzati dalla necessità dell’uso di approssimazioni e delle relative incertezze; ciò accade talvolta anche in problemi del tutto interni alla matematica. Per esempio, Lagrange, nelle "Leçons élémentaires sur les mathématiques" (Lezioni elementari sulle matematiche, Giusti, Milano, 1839), tenute nel 1795, affermava, riferendosi alle equazioni di quinto grado:
«Il quinto grado presenta una specie di barriera che gli sforzi degli analisti non hanno ancora potuto superare e la soluzione generale delle equazioni rimane ancora a desiderarsi nell'algebra [...]. Determinare in numeri i valori delle radici è, in ultimo risultato, lo scopo della soluzione di tutti i problemi che i bisogni o la curiosità presentano da risolvere».
Quando Lagrange teneva le sue lezioni non erano ancora noti i risultati di Galois, né il teorema di Ruffini-Abel sulla impossibilità di risolvere per radicali una qualunque equazione di grado maggiore o uguale al quinto. Prendendo atto dell’inanità degli sforzi dei matematici per risolvere, in generale, una qualunque equazione polinomiale e ritenendo il problema di trovare le soluzioni di un’equazione di primaria importanza per la matematica, Lagrange sosteneva la necessità di cambiare prospettiva e ricercare metodi per approssimare le soluzioni di un’equazione.
Se si leggono le Leçons, si può notare che Lagrange applica un procedimento finito a funzioni polinomiali e considera scontate la continuità della funzione, l’esistenza della soluzione e la convergenza del suo procedimento.
La storia mostra che, successivamente, Cauchy estende la ricerca di approssimazioni anche a funzioni non polinomiali e, pur non esplicitando una condizione equivalente al teorema della permanenza del segno, sposta l’attenzione verso l'esistenza della soluzione, che Lagrange dava per scontata. Lagrange fornisce un metodo per trovare le soluzioni, mentre Cauchy e più ancora Bolzano spostano l'attenzione al problema dell'esistenza della soluzione.
Da Lagrange a Cauchy e a Bolzano cambia anche il linguaggio con cui si presenta e si giustifica il problema della determinazione delle soluzioni di un’equazione: si parla sempre meno di risoluzioni di equazioni e sempre più di proprietà di funzioni continue.
Questo cambiamento di linguaggio e di prospettiva consentì la formulazione del teorema degli zeri come noi oggi lo conosciamo, ma, soprattutto, consentì di porsi e di risolvere problemi nuovi che, con la formulazione di Lagrange, non solo non sarebbero stati risolvibili, ma forse nemmeno formulabili.
Ecco un esempio di come un problema nato in una tradizione più pragmatica della nostra, possa contribuire a introdurre aspetti di modellizzazione e di problem solving in situazioni realistiche, in genere poco presenti nella prassi didattica italiana e, al tempo stesso, possa fornire l’occasione per avviare una riflessione di carattere storico-epistemologico e di apertura verso problematiche interne allo sviluppo del pensiero matematico che sono care alla tradizione italiana.
Chi desiderasse approfondire la storia del teorema degli zeri attraverso un’esperienza svolta in una terza classe di liceo scientifico PNI può leggere Matematica e storia della matematica in classe: la strana storia del teorema degli zeri” di Domingo Paola.
La buona scuola è già in atto?
Spero che la mia argomentazione sia riuscita a corroborare la tesi che PISA possa giocare un ruolo positivo per l’insegnamento–apprendimento della matematica in Italia. Dovremmo quindi essere contenti dei miglioramenti dimostrati dai nostri studenti nelle prove di matematica: suggeriscono che la scuola funziona e non è insensibile alle innovazioni e alle contaminazioni intelligenti.
Come ha già fatto notare Stefania Pozio nel suo articolo, gli studenti che hanno fatto rilevare i miglioramenti più significativi nelle prove PISA di matematica sono quelli dei Paesi che nel 2003 si trovavano agli ultimi posti della classifica internazionale. Questa considerazione può far nascere qualche perplessità sulla reale significatività del miglioramento: infatti è del tutto naturale che vi siano miglioramenti, in assoluto e in percentuale, da parte di chi sta ai livelli più bassi della classifica. Ulteriori considerazioni portano, però, a guardare con molta soddisfazione ai miglioramenti dei nostri studenti dal 2003 al 2012. Innanzitutto si può notare che sono notevolmente diminuiti gli studenti che avevano ottenuto nel 2003 bassi livelli di prestazione: ciò vuol dire che il nostro sistema di istruzione si sta muovendo decisamente verso una maggiore equità. Si tratta di un traguardo fondamentale, soprattutto se si tiene conto che le prove PISA sono in genere rivolte agli studenti che completano l’obbligo scolastico, che prevede come obiettivi competenze di cittadinanza che non possono essere riservati a un’élite.
C’è però un altro aspetto assai positivo: il miglioramento nelle prestazioni di matematica dei nostri studenti suggerisce che i cambiamenti strutturali che hanno interessato la scuola italiana e le azioni messe in campo per il miglioramento dell’insegnamento-apprendimento della matematica vadano nella giusta direzione. Stefania Pozio ha fatto esplicitamente riferimento alle nuove indicazioni curricolari per tutti gli ordini di scuola, alla messa in campo di un sistema di prove standardizzate per la valutazione degli apprendimenti (prove INVALSI) e all’attuazione del Piano di Formazione e Informazione finanziato dal fondo sociale europeo (PON) negli anni 2007 – 2013. Io vorrei qui ricordare anche altri progetti che hanno probabilmente dato un contributo importante, svolgendo un’azione capillare nella scuola italiana. In particolare il Piano Nazionale Lauree Scientifiche, il Piano Nazionale Mat.abel, i progetti e le azioni dei Nuclei di Ricerca in Didattica della Matematica.
Soprattutto, i buoni risultati degli studenti suggeriscono che gli insegnanti abbiano saputo cogliere le suggestioni delle buone indicazioni e utilizzare bene le risorse messe loro a disposizione. Tutto ciò fa pensare che la buona scuola sia già all’opera, molto di più di quanto gli stessi operatori siano consapevoli e che per ottenere risultati ancora più significativi basterebbe probabilmente avere il coraggio di investire nella scuola e sugli insegnanti.
Sembra infatti che buoni risultati vengano ottenuti, nonostante quel che spesso si sente dire o che appare a un’osservazione un po’ superficiale.
Recentemente la comunità dei ricercatori in didattica della matematica italiana si è costituita in associazione, l'Associazione Italiana di Ricerca in Didattica della Matematica (AIRDM), che ha l'obiettivo di promuovere, stimolare e incentivare la ricerca e gli studi in didattica della matematica e la diffusione dei risultati della ricerca, contribuendo in tal modo anche al miglioramento dell'insegnamento e apprendimento della matematica nei diversi ordini scolastici.
