Ripassiamo insieme il modello SIR
In un altro articolo di questo speciale abbiamo usato il modello SIR che descriveva matematicamente l’epidemia dei verniciati: in un grande salone alcuni soggetti si sporcavano le mani di vernice (infetti) e andavano a sporcare quelle di tutti gli altri (suscettibili). Alcuni soggetti andavano in bagno per togliersi la vernice e non potevano più verniciare nessuno (rimossi). Ovviamente il modello SIR non si applica solo per descrivere l’epidemia dei verniciati (che poi, a sua volta, è una modellizzazione semplificata di una situazione reale di epidemia). Il modello SIR, infatti, è il modello matematico più semplice per descrivere la dinamica di un’epidemia, dinamica che è basata sui meccanismi di contagio e di rimozione. Il modello SIR può essere rappresentato dalle seguenti equazioni:
dove con St+1, It+1 e Rt+1 indichiamo rispettivamente il numero di individui suscettibili, infetti e rimossi al tempo t + 1. Una delle ipotesi alla base del modello è che la numerosità totale della popolazione sia costante nel tempo (St + It + Rt = N, ∀t) . Il parametro a dipende dalla contagiosità del virus e dal numero di contatti che ha un infetto, mentre il parametro b dipende dall’efficienza del Sistema Sanitario nell’individuare gli infetti e nel toglierli dalla circolazione. In pratica in questo modello il numero dei suscettibili diminuisce a causa dei contagi, il numero degli infetti aumenta a causa dei contagi e diminuisce a causa delle rimozioni e il numero dei rimossi aumenta a causa delle rimozioni.
L’epidemia si sviluppa solo se il numero di infetti aumenta nel tempo e questo, nell’ipotesi in cui all’inizio St ≈ N, avviene nel caso in cui
dove il numero 
esprime il numero di contagi causato da un singolo infetto e viene chiamato numero riproduttivo di base. Se invece è minore di 1 la malattia si estingue con conseguenze limitate.
Definiamo adesso un nuovo parametro (che è sostanzialmente quello costantemente chiamato in causa dai telegiornali quando si parla di coronavirus) detto numero riproduttivo effettivo 
:
è un parametro che segue nel tempo l’epidemia e che, confrontato con 1, indica ad ogni istante temporale se l’epidemia va verso l’estinzione oppure sta dilagando. Per definizione il numero di soggetti suscettibili tende a decrescere nel tempo (St < St-1 ∀t), pertanto
cioè nel modello SIR il parametro decresce nel tempo. Questo spiega perché gli andamenti qualitativi nel tempo dell’epidemia nel modello SIR sono sostanzialmente di due tipi
- se il numero riproduttivo di base è inferiore a 1, lo sono anche tutti gli successivi e la malattia si estingue senza generare un numero di infetti maggiore rispetto a quello iniziale;
- se invece è maggiore di 1 la malattia si propaga fino a raggiungere il picco dell’infezione, in corrispondenza del quale il numero degli infetti può essere molto più alto del valore iniziale, per poi tendere all’estinzione ( parte da un valore maggiore di 1, ma poi decresce e ad un certo istante scenderà sotto 1).
ESERCIZIO
Completa l’esercizio impostando un foglio di calcolo come quello proposto da Claudio Romeni in La matematica di un'epidemia: utilizza l’equazione (1) per calcolare il valore di ad ogni istante e traccia il suo andamento in funzione del tempo a seconda del valore iniziale
ad ogni istante e traccia il suo andamento in funzione del tempo a seconda del valore iniziale
Il modello SIR modificato
Il modello SIR non è dunque in grado di descrivere l’eventuale endemicità di una malattia cioè la capacità di una malattia di persistere per lungo tempo in una popolazione costituendo una grave minaccia per la salute pubblica. In pratica applicando il modello SIR nel salone dei verniciati, ad un certo punto la rapidità con cui nuove persone sono verniciate è inferiore della rapidità con cui escono di scena i verniciati e il contagio si spegne. Uno dei modi per includere l’endemicità di una malattia è di considerare all’interno del modello il processo di immissione di nuovi individui in modo che la popolazione dei suscettibili possa ricostituirsi. Tornando al modello del salone dei verniciati, in pratica stiamo facendo entrare nel salone alcuni nuovi soggetti con mani pulite e stiamo facendo uscire soggetti qualsiasi. Matematicamente, in aggiunta alle ipotesi su cui si basa il modello SIR introduciamo le seguenti ipotesi:- la popolazione non è chiusa cioè c’è un input (natalità) e un output (mortalità);
- gli individui che entrano nel sistema appartengono al solo compartimento dei suscettibili, mentre escono dal sistema, a seguito di morte naturale, gli individui di tutti i compartimenti;
- i tassi di natalità e mortalità pro-capite sono indicati con la lettera m e sono assunti costanti e coincidenti.
dove sono evidenziati in grassetto i termini aggiuntivi rispetto al modello SIR. In questo caso il numero di infetti aumenta nel tempo se:
Ipotizzando ancora St ≈ N, la relazione precedente diventa
e ci permette di definire il numero riproduttivo di base per il modello SIR modificato:
In questo modello il numero di soggetti suscettibili non decresce nel tempo, pertanto non abbiamo la garanzia che il parametro faccia altrettanto. Si può comunque dimostrare che ancora una volta la condizione di soglia < 1 è sufficiente a garantire l’estinguersi della malattia. Viceversa per > 1, dopo la fase di invasione, si osserverà un alternarsi di fasi epidemiche seguite da epoche di ricostituzione demografica. Uno scenario possibile per = 2.5 mostra fasi di aumento del numero dei soggetti suscettibili a cui corrispondono nuove fasi epidemiche:
ESERCIZIO
Modifica il foglio di calcolo predisposto per l’esercizio precedente:
- predisponi una casella in cui inserire la costante m (in unità arbitrarie), provando ad esempio con il valore m=1.35;
- modifica la formula per il calcolo di utilizzando l’equazione (5) per il modello SIR modificato;
- modifica l’algoritmo iterativo aggiungendo i termini in grassetto evidenziati nelle equazioni (2), (3), (4) e traccia l’andamento in funzione del tempo di S e I.
Il modello SIRV
Per creare le condizioni per evitare l’endemicità di una malattia, è efficace il ricorso alla vaccinazione. Consideriamo pertanto un’estensione del modello SIR modificato che tenga conto della possibilità per i soggetti suscettibili di essere immunizzati alla nascita per mezzo di un vaccino efficace al 100% e che conferisca un’immunità permanente per tutta la durata della vita. Per semplicità assumiamo che il vaccino sia somministrato esclusivamente ai nuovi nati: un modello del genere si adatta ad esempio alle malattie pediatriche come morbillo o varicella. Sempre pensando al salone dei verniciati è come se alcuni dei soggetti immessi nel salone avessero dei guanti protettivi. Matematicamente, rispetto al modello SIR modificato aggiungiamo le seguenti ipotesi:- una frazione costante
dei suscettibili è vaccinata alla nascita; - gli individui vaccinati godono di immunità permanente e formano il compartimento dei vaccinati V dunque dal modello SIR passiamo al modello SIRV.
dove sono evidenziate in grassetto le novità rispetto al modello SIR modificato. Nel compartimento dei suscettibili entrano i nuovi nati non vaccinati (+m · N · (1 - p) · Δt); inoltre si aggiunge un’equazione relativa al compartimento dei vaccinati. In questo modello una frazione costante p di neonati è vaccinata ad ogni istante t, pertanto ad un certo punto il numero di individui suscettibili sarà S ≤ (1 - p) · N, da cui:
Fissando la frazione di vaccinati p in modo che 
avremo dunque l’eliminazione dell’infezione. La quantità 
è detta soglia per l’immunità di gregge, in quanto se si sceglie una copertura vaccinale superiore ad essa anche coloro che avranno scelto di non vaccinarsi beneficeranno comunque dell’immunizzazione grazie al comportamento del resto della popolazione (sono i cosiddetti “free riders”). Per esempio, secondo il modello SIRV nel caso di una malattia con = 2.5 basterà vaccinare più del 60% dei nuovi nati per garantire l’eliminazione della malattia.
Nei grafici seguenti osserviamo, nello scenario endemico precedente, l’impatto della vaccinazione con p = 0.9 e l’eliminazione dell’endemicità della malattia (un unico picco di infezione):
ESERCIZIO
Modifica il foglio di calcolo impostato precedentemente:
- predisponi una casella in cui inserire la costante p, per esempio p = 0.8;
- modifica l’algoritmo iterativo per il calcolo dei suscettibili aggiungendo il termine in grassetto evidenziato nell’equazione (6) e traccia l’andamento in funzione del tempo di S e I;
- modifica la costante p del modello e visualizza l’impatto della vaccinazione sulla particolare epidemia descritta osservando l’eliminazione dell’endemicità della malattia.
Possibili sviluppi
Sebbene il modello SIRV nella sua semplicità permetta già di visualizzare l’impatto di una campagna di vaccinazione su una epidemia, esistono modelli più sofisticati che si basano su ipotesi più realistiche, come ad esempio le seguenti:- la popolazione è ripartita in classi di età ciascuna delle quali ha diverse probabilità di ammalarsi;
- la vaccinazione può essere somministrata a qualsiasi età;
- la frazione di vaccinati può variare nel tempo, ecc.
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Per approfondire
Maria Groppi, Rossella della Marca. Modelli epidemiologici e vaccinazioni: da Bernoulli a oggi. Matematica, Cultura e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 3 (2018), n.1, p. 45–59. Unione Matematica Italiana
