Ripassiamo insieme il modello SIR
In un altro articolo di questo speciale abbiamo usato il modello SIR che descriveva matematicamente l’epidemia dei verniciati: in un grande salone alcuni soggetti si sporcavano le mani di vernice (infetti) e andavano a sporcare quelle di tutti gli altri (suscettibili). Alcuni soggetti andavano in bagno per togliersi la vernice e non potevano più verniciare nessuno (rimossi). Ovviamente il modello SIR non si applica solo per descrivere l’epidemia dei verniciati (che poi, a sua volta, è una modellizzazione semplificata di una situazione reale di epidemia). Il modello SIR, infatti, è il modello matematico più semplice per descrivere la dinamica di un’epidemia, dinamica che è basata sui meccanismi di contagio e di rimozione. Il modello SIR può essere rappresentato dalle seguenti equazioni:![](https://ieb-assets.s3-eu-west-1.amazonaws.com/files/wp_aulascienze/2021/03/fasanelli_formula_1.jpg)
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- se il numero riproduttivo di base
è inferiore a 1, lo sono anche tutti gli
successivi e la malattia si estingue senza generare un numero di infetti maggiore rispetto a quello iniziale;
- se invece
è maggiore di 1 la malattia si propaga fino a raggiungere il picco dell’infezione, in corrispondenza del quale il numero degli infetti può essere molto più alto del valore iniziale, per poi tendere all’estinzione (
parte da un valore maggiore di 1, ma poi decresce e ad un certo istante scenderà sotto 1).
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ESERCIZIO
Completa l’esercizio impostando un foglio di calcolo come quello proposto da Claudio Romeni in La matematica di un'epidemia: utilizza l’equazione (1) per calcolare il valore di
ad ogni istante e traccia il suo andamento in funzione del tempo a seconda del valore
iniziale
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Il modello SIR modificato
Il modello SIR non è dunque in grado di descrivere l’eventuale endemicità di una malattia cioè la capacità di una malattia di persistere per lungo tempo in una popolazione costituendo una grave minaccia per la salute pubblica. In pratica applicando il modello SIR nel salone dei verniciati, ad un certo punto la rapidità con cui nuove persone sono verniciate è inferiore della rapidità con cui escono di scena i verniciati e il contagio si spegne. Uno dei modi per includere l’endemicità di una malattia è di considerare all’interno del modello il processo di immissione di nuovi individui in modo che la popolazione dei suscettibili possa ricostituirsi. Tornando al modello del salone dei verniciati, in pratica stiamo facendo entrare nel salone alcuni nuovi soggetti con mani pulite e stiamo facendo uscire soggetti qualsiasi. Matematicamente, in aggiunta alle ipotesi su cui si basa il modello SIR introduciamo le seguenti ipotesi:- la popolazione non è chiusa cioè c’è un input (natalità) e un output (mortalità);
- gli individui che entrano nel sistema appartengono al solo compartimento dei suscettibili, mentre escono dal sistema, a seguito di morte naturale, gli individui di tutti i compartimenti;
- i tassi di natalità e mortalità pro-capite sono indicati con la lettera m e sono assunti costanti e coincidenti.
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ESERCIZIO
Modifica il foglio di calcolo predisposto per l’esercizio precedente:
- predisponi una casella in cui inserire la costante m (in unità arbitrarie), provando ad esempio con il valore m=1.35;
- modifica la formula per il calcolo di
utilizzando l’equazione (5) per il modello SIR modificato;
- modifica l’algoritmo iterativo aggiungendo i termini in grassetto evidenziati nelle equazioni (2), (3), (4) e traccia l’andamento in funzione del tempo di S e I.
Il modello SIRV
Per creare le condizioni per evitare l’endemicità di una malattia, è efficace il ricorso alla vaccinazione. Consideriamo pertanto un’estensione del modello SIR modificato che tenga conto della possibilità per i soggetti suscettibili di essere immunizzati alla nascita per mezzo di un vaccino efficace al 100% e che conferisca un’immunità permanente per tutta la durata della vita. Per semplicità assumiamo che il vaccino sia somministrato esclusivamente ai nuovi nati: un modello del genere si adatta ad esempio alle malattie pediatriche come morbillo o varicella. Sempre pensando al salone dei verniciati è come se alcuni dei soggetti immessi nel salone avessero dei guanti protettivi. Matematicamente, rispetto al modello SIR modificato aggiungiamo le seguenti ipotesi:- una frazione costante
dei suscettibili è vaccinata alla nascita;
- gli individui vaccinati godono di immunità permanente e formano il compartimento dei vaccinati V dunque dal modello SIR passiamo al modello SIRV.
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ESERCIZIO
Modifica il foglio di calcolo impostato precedentemente:
- predisponi una casella in cui inserire la costante p, per esempio p = 0.8;
- modifica l’algoritmo iterativo per il calcolo dei suscettibili aggiungendo il termine in grassetto evidenziato nell’equazione (6) e traccia l’andamento in funzione del tempo di S e I;
- modifica la costante p del modello e visualizza l’impatto della vaccinazione sulla particolare epidemia descritta osservando l’eliminazione dell’endemicità della malattia.
Possibili sviluppi
Sebbene il modello SIRV nella sua semplicità permetta già di visualizzare l’impatto di una campagna di vaccinazione su una epidemia, esistono modelli più sofisticati che si basano su ipotesi più realistiche, come ad esempio le seguenti:- la popolazione è ripartita in classi di età ciascuna delle quali ha diverse probabilità di ammalarsi;
- la vaccinazione può essere somministrata a qualsiasi età;
- la frazione di vaccinati può variare nel tempo, ecc.
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Per approfondire
Maria Groppi, Rossella della Marca. Modelli epidemiologici e vaccinazioni: da Bernoulli a oggi. Matematica, Cultura e Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 3 (2018), n.1, p. 45–59. Unione Matematica Italiana
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