Il tempo di volo nel moto parabolico

Questo è un esercizio di algebra: Un proiettile lanciato da un'altezza y=0 con velocità iniziale di modulo v0 (v con 0) e angolo theta, atterra a una quota diversa (y=h). Dimostra che il tempo di volo del proiettile è: T=1/2 T0 (1+sqrt (1-h/H)), dove T0 è il tempo di volo per h=0 e H l'altezza massima raggiunta dal proiettile. Ecco la mia risposta: Le equazioni del moto in questione sono, con le ipotesi consuete: \(\displaystyle x=\left(v_0 \cos\theta\right)t\) \(\displaystyle y=-\frac{1}{2}g t^2+(v_0 \sin\theta)t\) \(\displaystyle v_y=-g t +(v_0 \sin\theta)\). La massima altezza è il valore assunto da \(y\) quando \(v_y=0\), cioè all'istante \(\displaystyle t_H = \frac{v_0\sin\theta}{g}\). Sostituendo questo valore nell'equazione che dà \(y\) si ottiene: \(\displaystyle H=-\frac{1}{2}g \frac{v_0\sin\theta}{g}^2+(v_0 \sin\theta) \frac{v_0\sin\theta}{g} = \frac{1}{2}\frac{\left(v_0\sin\theta\right)^2}{g}\). Il tempo di volo per \(h=0\) si ottiene annullando la seconda delle equazioni del moto e prendendo la soluzione non nulla: \(\displaystyle t_0 = \frac2{v_0\sin\theta}{g}\). Il tempo di volo fino a un'altezza finale \(h\) non nulla si ottiene ponendo invece \(y=h\) nella stessa equazione e risolvendola in \(t\): \(\displaystyle t = \frac{v_0\sin\theta \pm \sqrt{\left(v_0\sin\theta\right)^2-2gh}}{g}\) dove la soluzione cercata si ottiene prendendo il radicale positivo. A questo punto si raccoglie a fattor comune il termine \(\displaystyle\frac{v_0\sin\theta}{g}\), si usano le relazioni ottenute in precedenza e si arriva all'espressione richiesta. Ma ormai è davvero soltanto una questione di algebra...

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