Repulsione elettrica e attrazione gravitazionale

Efrem è in difficoltà: Due particelle di uguale massa e di carica uguale a 1,5 x10-10 C si respingono a 1 km di distanza. Quanto dovrebbero valere le loro masse perché la forza di attrazione gravitazionale compensasse la forza di repulsione elettrica? Ecco la mia risposta: La legge di Coulomb della forza elettrostatica fra due cariche \(q_1\) e \(q_2\) poste a una distanza \(r\) si può scrivere come:\[\displaystyle F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1\cdot q_2}{r^2}\]dove \(\epsilon_0=8,854\cdot10^{-12}\,\mathrm{C^2\,N^{-1}\,m^{-2}}\) è la costante di permittività elettrica. La legge di Newton della forza gravitazionale fra due masse \(m_1\) e \(m_2\) poste a una distanza \(r\) ha una forma molto simile:\[\displaystyle F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\] dove \(G=6,67\cdot10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\) è la costante di gravitazione universale. Se la distanza \(r\) è la stessa, l'uguaglianza della forza di repulsione elettrica fra due cariche uguali e della forza di attrazione gravitazionale fra due masse uguali equivale alla condizione:\[\displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot q^2 = G\cdot m^2\]da cui:\[\displaystyle m=\sqrt{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\,G}}=\mathrm{1,7\,kg}.\]

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