Consideriamo il sistema rappresentato nella figura qui accanto. Ipotizziamo una carrucola ideale e assenza di attrito tra A2 e il ripiano.
Sapendo che mB (la massa del corpo B) è 5 kg, mA1 è 2 kg, mA2 è 1 kg, v0 = 0 m/s, h = 0,1 m, calcolare:
- la tensione T1
- la tensione T2
- la reazione R
- il tempo th che mB impiega a percorrere il tratto h
- il lavoro L1 fatto dalle forze di tensione T1 e T2 sul corpo tra t=0 e t=th.
Ecco la mia risposta:
Per risolvere il problema osserviamo che la forza esterna sul sistema costituito dai tre oggetti A1, A2 e B e sui vincoli che ne limitano il moto è la somma algebrica delle forze peso \(F_{peso}=m_B\cdot g-m_{A_1}\cdot g\) che la Terra esercita su B e su A1 da parti opposte della carrucola. Se i fili sono inestensibili, la forza peso nel far cadere B accelera con la stessa accelerazione \(a\) anche A1 e A2. Per la legge fondamentale della dinamica, \(F = ma\):\[\displaystyle \left(m_B-m_{A_1}\right)\cdot g = \left(m_B+m_{A_1}+m_{A_2}\right)\cdot a\]da cui: \(a=\displaystyle\frac{m_B-m_{A_1}}{m_B+m_{A_1}+m_{A_2}}\cdot g = 3,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).
La la forza necessaria a imporre questa accelerazione al sottosistema formato da A1 e A2 è la somma algebrica della tensione \(T_1\) e della forza peso su A1, \(m_{A_1}\cdot g\), quindi \(T_1\) vale \(T_1=\left(m_{A_1}+m_{A_2}\right)\cdot a + m_{A_1}\cdot g = 30,7\,\mathrm{N}\), mentre \(T_2\) è la forza necessaria a imporre questa accelerazione al sottosistema formato dal solo A2, e vale \(T_2=m_{A_2}\cdot a = 3,68\,\mathrm{N}\).
La reazione vincolare \(R\) sulla carrucola è uguale alla somma delle tensioni sui due lati della carrucola, \(R=2T_1=61,4\,\mathrm{N}\).
Per percorrere il tratto \(h\) con accelerazione \(a\) il corpo B impiega l'intervallo di tempo \(\displaystyle t_h =\sqrt{\frac{2h}{a}}=0,23\,\mathrm{s}\). Moltiplicando le tensioni per gli spostamenti (tutti uguali a \(h\)) si ottengono i lavori richiesti.
