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L'esperto di fisica

Una compressione adiabatica

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Alessandro ha scritto:

Ho il seguente problema: "Una massa m=1kg di ossigeno (massa molecolare M=32g/mol), viene compressa quasi staticamente, portandola da temperatura e pressioni ambienti (20 °C e 1 atm) alla pressione di 50 atm. Se la trasformazione è adiabatica, qual è la variazione di energia interna e il lavoro fatto sull'esterno?"
Sinora, sono arrivato a considerare l'ossigeno come un gas perfetto, in quanto la temperatura è lontana da quella di liquefazione. Ma adesso non saprei come proseguire. Vi ringrazio per l'aiuto.

Ecco la mia risposta:

Intanto facciamo un po' d'ordine fra le unità di misura, perché in questo caso è indispensabile lavorare con le unità SI implicite nelle equazioni dei gas perfetti. Avremo:
p0 = 1 atm = 101 kPa
n = m/M = 31,25 mol
T0 = 20 °C = 293 K
V0 = nRT0/p0 = 0,754 m3
pf = 50 atm = 5050 kPa

Sappiamo che il gas subisce una trasformazione adiabatica reversibile (perché quasistatica), che nei gas perfetti segue la legge:
(1)     pfVfγ = p0V0γ
dove γ è uguale al rapporto fra i calori specifici molari a pressione e a volume costante, Cp/CV, rapporto che per i gas perfetti biatomici come l'ossigeno vale 1,4. Questa relazione ci permette di calcolare il volume finale:
(2)     Vf = (p0V0γ/pf)1/γ =0,0461 m3.
Possiamo quindi determinare la temperatura finale:
(3)     Tf = pfVf/nR = 896 K.
In una compressione adiabatica, com'è noto, i gas aumentano di temperatura. Infatti il lavoro compiuto sul gas dalla compressione non può comunicarsi all'ambiente come calore (cosa che avviene invece in una compressione isoterma) e va tutto ad aumentare l'energia interna del gas e quindi la sua temperatura.

Possiamo usare la relazione fra energia interna U e temperatura T nei gas perfetti per calcolare la variazione di energia. È possibile dimostrare che in un gas perfetto la variazione di energia interna è dirattamente proporzionale alla variazione di temperatura, con costante di proporzionalità uguale al calore specifico molare CV, che in un gas biatomico vale (5/2)nR. Otteniamo perciò:
(4)    ΔUCVΔT = 3,9 x 105 J.
Questa variazione di energia è uguale, per il principio di conservazione dell'energia, al lavoro svolto dall'ambiente sul gas. Il lavoro svolto dal gas sull'ambiente è l'opposto di questo e vale quindi Wgas = -3,9 x 105 J.

Spero di non avere fatto ricorso a concetto inusuali o a relazioni non conosciute. Come al solito, sarebbe meglio se specificaste la scuola e l'anno che frequentate, in modo che io possa rivolgermi a voi in maniera più efficace -- o almeno provarci!

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