Per piccole oscillazioni, il periodo di un pendolo dipende esclusivamente dalla sua lunghezza e non dall'angolo. I due pendoli hanno la stessa lunghezza e sono entrambi a un'estremità dell'oscillazione: di conseguenza, dopo un quarto di periodo, si scontreranno quando sono entrambi verticali.L'altezza iniziale dei centri di massa rispetto alla posizione più bassa dei pendoli (assunta come zero dell'energia potenziale) vale rispettivamente:
\(h_1=l(1-\cos\alpha)\)
e
\(h_2=l(1-\cos\beta)\).
Sotto queste ipotesi l'energia potenziale iniziale di ciascun pendolo è uguale alla rispettiva energia cinetica finale, da cui:
\(mgh_1=\frac{1}{2}mv_1^2\)
\(mgh_2=\frac{1}{2}mv_2^2\)
e quindi
\(\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{l-h_1}{l}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{l-\frac{v_1^2}{2g}}{l}\right)=\mathrm{83°}\)
\(\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{l-h_2}{l}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{l-\frac{v_2^2}{2g}}{l}\right)=\mathrm{33°}\).
(E così l'ipotesi delle piccole oscillazioni è andata a farsi benedire.)
Se l'urto è elastico, dato che le masse sono uguali i pendoli si scambiano le velocità e ciascuno risale all'altezza da cui è sceso l'altro.
Se l'urto è anelastico, dalla conservazione della quantità di moto si deduce che il pendolo unico che viene a formarsi ha una massa \(2m\) e una velocità (verso destra) \(\displaystyle v'=\frac{v_1-v_2}{2}\), quindi un'energia cinetica \(\displaystyle K=\frac{1}{2}\cdot2m\left(\frac{v_1-v_2}{2}\right)^2\).
Applicando la conservazione dell'energia e ragionando come nella prima parte non dovrebbe essere troppo difficile trovare l'altezza finale e quindi l'angolo.
Urti fra pendoli
Questo è un esercizio sugli urti e i principi di conservazione:
Due fili uguali di lunghezza l = 1,5 m con appese due masse m identiche sono liberi di oscillare in un piano verticale.
Per piccole oscillazioni, il periodo di un pendolo dipende esclusivamente dalla sua lunghezza e non dall'angolo. I due pendoli hanno la stessa lunghezza e sono entrambi a un'estremità dell'oscillazione: di conseguenza, dopo un quarto di periodo, si scontreranno quando sono entrambi verticali.L'altezza iniziale dei centri di massa rispetto alla posizione più bassa dei pendoli (assunta come zero dell'energia potenziale) vale rispettivamente:
\(h_1=l(1-\cos\alpha)\)
e
\(h_2=l(1-\cos\beta)\).
Sotto queste ipotesi l'energia potenziale iniziale di ciascun pendolo è uguale alla rispettiva energia cinetica finale, da cui:
\(mgh_1=\frac{1}{2}mv_1^2\)
\(mgh_2=\frac{1}{2}mv_2^2\)
e quindi
\(\displaystyle \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{l-h_1}{l}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{l-\frac{v_1^2}{2g}}{l}\right)=\mathrm{83°}\)
\(\displaystyle \beta=\cos^{-1}\left(\frac{l-h_2}{l}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{l-\frac{v_2^2}{2g}}{l}\right)=\mathrm{33°}\).
(E così l'ipotesi delle piccole oscillazioni è andata a farsi benedire.)
Se l'urto è elastico, dato che le masse sono uguali i pendoli si scambiano le velocità e ciascuno risale all'altezza da cui è sceso l'altro.
Se l'urto è anelastico, dalla conservazione della quantità di moto si deduce che il pendolo unico che viene a formarsi ha una massa \(2m\) e una velocità (verso destra) \(\displaystyle v'=\frac{v_1-v_2}{2}\), quindi un'energia cinetica \(\displaystyle K=\frac{1}{2}\cdot2m\left(\frac{v_1-v_2}{2}\right)^2\).
Applicando la conservazione dell'energia e ragionando come nella prima parte non dovrebbe essere troppo difficile trovare l'altezza finale e quindi l'angolo.