Rispondo ad Andrea in merito al seguente quesito: Calcolare la lunghezza della curva \(y=\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{25}}\) nell'intervallo \(\left[ 0;5 \right]\).

Elisa propone il seguente quesito: Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta \(y=2\) della parte di piano delimitata dalla funzione \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\) e dalla retta \(y=4\).

Maria Rita chiede aiuto in merito al seguente quesito: In un riferimento cartesiano ortogonale si rappresenti l’insieme \(\Sigma\) dei punti \((x;y)\) per i quali risulta \({{e}^{\frac{1}{x}}}-{{y}^{2}}>0\).

Lucia chiede aiuto in merito al seguente quesito d'esame: Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: \(\int\limits_{1}^{\sqrt{\ln x}}{\frac{{{e}^{t}}}{{{t}^{2}}}dt}\) nel punto \(P\) di ascissa \(x=e\).

Elisa propone il seguente quesito: Dato il triangolo \(ABC\) acutangolo con \(AB=13\) e \(BC=15\) si sa che il suo baricentro e quello del suo contorno giacciono su una retta parallela ad \(AC\). Determinare l’area del triangolo sapendo che il raggio della circonferenza in esso inscritta misura \(4\).

Paola chiede aiuto in merito ad un problema relativo ad una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili.

Rispondo ad Evarist in merito al seguente quesito: Calcola la retta tangente al grafico della funzione \(y=f(x)\) in \(x=\frac{\pi }{4}\) sapendo che la sua funzione integrale è: \[F\left( x \right)=\int\limits_{2}^{x}{\left( \cos t+1 \right)dt}\quad .\]

Elisa propone il seguente quesito: Data la parabola \(y=4-x^2\), considera la regione di piano \(S\) del primo quadrante compresa tra la parabola e gli assi coordinati. Determina il volume del solido generato dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo intorno alla retta \(y=5\), e dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo attorno alla retta di equazione \(x=2\).

Maria Rita propone un quesito in cui si tratta di calcolare il volume di un solido di sezioni note utilizzando il calcolo integrale.

Ricevo da Elisa il seguente quesito: Determina l’area del quadrilatero mistilineo limitato dalla parabola \(\gamma_1\) di equazione \(y=-x^2+4x\) e dalla parabola \(\gamma_2\) di equazione \(y=-x^2+14x-40\), dalla tangente a \(\gamma_1\) nell'origine e dalla tangente a \(\gamma_2\) nel vertice.

Ettore propone due quesiti di geometria analitica dello spazio.

Lucia propone il seguente quesito: Determinare il valore del parametro \(t\) che soddisfa l’equazione \[\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx}\quad .\]

Rispondo a Lucia in merito al seguente quesito: La funzione \(y=10^(x+8)\) è invertibile? Perché? Quale ne è la derivata? Calcola la derivata della funzione inversa.

Paola propone due problemi di probabilità, con prove ripetute e diagrammi ad albero.

Rispondo a Lucia in merito al calcolo, tramite integrali, di alcuni volumi di solidi di rotazione.

Ricevo da Enrico il seguente quesito: Trovare la probabilità di colpire una sfera, inscritta in un cono equilatero di dato raggio di base. Tale bersaglio è fermo ed è posto verticalmente alla traiettoria del proiettile considerato di dimensioni non significative.

Emanuela chiede aiuto in merito ad un problema di ricerca di una particolare primitiva di una funzione assegnata.

Rispondo a Leonardo in merito ad un problema di geometria su circonferenza, corde, triangoli rettangoli.

Erika propone il seguente quesito di calcolo delle probabilità: Si hanno 2 mazzi da 40 carte. Da ciascuno viene estratta una carta. Calcola la probabilità che almeno una carta sia un asso.

Rispondo ad Evarist in merito al seguente quesito: Calcola il volume del solido che ha come base la regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione assegnata e dall’asse \(x\) nell’intervallo segnato a fianco e come sezioni perpendicolari all’asse \(x\) quelle indicate: \[y=\sqrt{{{x}^{3}}-x},\quad \left[ 1;4 \right];\quad \text{semicerchi}.\]