Aula di scienze

Aula di scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Dalla derivata seconda alla funzione

leggi

Ricevo da Francesca la seguente domanda:

Buonasera professore,
senta io dovrei risolvere alcuni quesiti per prepararmi alla seconda prova d'esame,ma ho delle difficoltà. Il primo mi chiede:
Considera la famiglia di funzioni f(x) tali che la derivata seconda è uguale a
 
-2x/(1 + x2)2.
 
In questa famiglia determina la funzione che ha un flesso a tangente orizzontale il cui grafico passa per il punto di coordinate (0;2).
 
Le rispondo così:
 
Cara Francesca,
innanzitutto voglio precisare l’interpretazione della richiesta, perché ha qualche ambiguità: intendiamo che la funzione f(x), di cui si conosce la derivata seconda, debba avere un flesso a tangente orizzontale nel punto (0;2).
In tal caso, per prima cosa integriamo l’espressione della derivata seconda per ricavare la famiglia delle possibili derivate prime f’(x); l’integrazione è immediata perché la funzione si presenta nella forma - g’(x)/[g(x)]2, cioè come derivata di 1/g(x), con g(x) = 1 + x2:
 
f’(x) = int[-2x/(1+x2)2]dx = 1/(1 + x2) + c
 
La condizione che nel punto (0;2) si debba avere un flesso a tangente orizzontale equivale ad affermare che f’(0) = 0 e che f’(x) non cambi segno in un intorno di x = 0, pertanto:
 
1+ c = 0 => c = -1 => f’(x) = 1/(1 + x2) -1
 
Integrando ulteriormente si ottiene:
 
f(x) = int[1/(1+ x2) - 1]dx = arctan(x) – x + c
 
La costante c è determinata dal fatto che (0;2) deve appartenere al grafico:
 
arctan(0) – 0 + c = 2 => c = 2.
 
Pertanto la funzione cercata è:
 
f(x) = arctan(x) – x + c.
 
Massimo Bergamini

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento