Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Buonasera professore,
senta io dovrei risolvere alcuni quesiti per prepararmi alla seconda prova d'esame,ma ho delle difficoltà. Il primo mi chiede:
Considera la famiglia di funzioni f(x) tali che la derivata seconda è uguale a
-2x/(1 + x2)2.
In questa famiglia determina la funzione che ha un flesso a tangente orizzontale il cui grafico passa per il punto di coordinate (0;2).
Le rispondo così:
Cara Francesca,
innanzitutto voglio precisare l’interpretazione della richiesta, perché ha qualche ambiguità: intendiamo che la funzione f(x), di cui si conosce la derivata seconda, debba avere un flesso a tangente orizzontale nel punto (0;2).
In tal caso, per prima cosa integriamo l’espressione della derivata seconda per ricavare la famiglia delle possibili derivate prime f’(x); l’integrazione è immediata perché la funzione si presenta nella forma - g’(x)/[g(x)]2, cioè come derivata di 1/g(x), con g(x) = 1 + x2:
f’(x) = int[-2x/(1+x2)2]dx = 1/(1 + x2) + c
La condizione che nel punto (0;2) si debba avere un flesso a tangente orizzontale equivale ad affermare che f’(0) = 0 e che f’(x) non cambi segno in un intorno di x = 0, pertanto:
1+ c = 0 => c = -1 => f’(x) = 1/(1 + x2) -1
Integrando ulteriormente si ottiene:
f(x) = int[1/(1+ x2) - 1]dx = arctan(x) – x + c
La costante c è determinata dal fatto che (0;2) deve appartenere al grafico:
arctan(0) – 0 + c = 2 => c = 2.
Pertanto la funzione cercata è:
f(x) = arctan(x) – x + c.
Massimo Bergamini