Ricevo da Svetlana la seguente domanda:
Gentile professore, non riesco a portare a termine queste due equazioni. La ringrazio anticipatamente.
1) Dimostrare che l'equazione
\[\frac{x+2}{{{x}^{2}}+2x+2}+\arctan \left( x+1 \right)-\frac{8}{5}=0\]
ammette due radici reali.
2) Dimostrare che l'equazione
\[\log \left( {{x}^{2}}+6x+10 \right)-8\arctan \left( x+3 \right)+5=0\]
ammette esattamente due radici reali.
Le rispondo così:
Cara Svetlana,
la strategia risolutiva è simile nei due esempi: si tratta di ricondurre l’equazione all’equivalente problema di determinare le eventuali intersezioni tra il grafico di una funzione e una retta parallela all’asse delle ascisse che rappresenta un assegnato valore che la funzione deve assumere, e l’esistenza e il numero di tali intersezioni si possono dedurre dallo studio della funzione, in particolare relativamente alla crescenza/decrescenza (segno della derivata).
Nel primo caso, l’equazione può essere riscritta come
\[\frac{x+2}{{{x}^{2}}+2x+2}+\arctan \left( x+1 \right)=\frac{8}{5}\]
per cui si tratta di dimostrare che il grafico della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{x+2}{{{x}^{2}}+2x+2}+\arctan \left( x+1 \right)\]
incontra almeno due volte la retta \(y=8/5\). Facilmente si osserva che:
- \(f(x)\) è continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\);
- Si hanno i limiti
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{\pi }{2}\quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{\pi }{2}\]
- La derivata
\[f'\left( x \right)=\frac{-2x}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}}\]
è positiva per \(x<0\), nulla in \(x=0\), negativa per \(x>0\), cioè la funzione è sempre crescente per \(x<0\), sempre decrescente per \(x>0\), ha un max relativo in \(x=0\), di valore \(f(0)=1+\pi/4\approx 1,78\).
Poiché \(\pi/2<8/5<1+\pi/4\), necessariamente, data la continuità della funzione, il valore \(y=8/5\) deve essere assunto sia in corrispondenza a un valore \(x_1<0\), sia in corrispondenza a un valore \(x_2>0\), come da tesi.
Nel secondo caso l’equazione può essere riscritta come
\[8\arctan \left( x+3 \right)-\log \left( {{x}^{2}}+6x+10 \right)=5\]
per cui si tratta di dimostrare che il grafico della funzione
\[f\left( x \right)=8\arctan \left( x+3 \right)-\log \left( {{x}^{2}}+6x+10 \right)\]
incontra esattamente due volte la retta \(y=5\). Facilmente si osserva che:
- \(f(x)\) è continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\);
- Si hanno i limiti
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \]
- La derivata
\[f'\left( x \right)=\frac{2\left( 1-x \right)}{{{x}^{2}}+6x+10}\]
è positiva per \(x<0\), nulla in \(x=1\), negativa per \(x>0\), cioè la funzione è sempre crescente per \(x<0\), sempre decrescente per \(x>0\), ha un max relativo in \(x=1\), di valore \(f(1)=8\arctan(4)-\ln 17\approx 7,773\).
Poiché \(5<7,773\), necessariamente, data la continuità della funzione (teorema dei valori intermedi), il valore \(y=5\) deve essere assunto sia in corrispondenza a un valore \(x_1<1\), sia in corrispondenza a un valore \(x_2>1\), come da tesi.
Massimo Bergamini