Ricevo da Vincenzo la seguente domanda:
Scusi professore all'esame di analitica 1 ho trovato quest'esercizio:
determinare, al variare del parametro reale \(k\), l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme.
\[X=\left\{ {{\left[ \left( 1-\frac{1}{n} \right)\sqrt{n} \right]}^{k}},\ n\ge 2 \right\}.\]
Mi può spiegare il procedimento?
Gli rispondo così:
Caro Vincenzo,
la successione
\[{{a}_{n}}=\left( 1-\frac{1}{n} \right)\sqrt{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n}},\quad n\ge 2\]
è positiva, monotona crescente e tendente a \(+\infty\), perciò:
se \(k>0\), si ha che \({{a}_{n}}^{k}\) è a sua volta monotona crescente e tendente a \(+\infty\), per cui inf=min=\(a_2\), non esiste sup;
se \(k<0\), si ha che \({{a}_{n}}^{k}\) è monotona decrescente e tendente a \(0\), per cui inf=\(0\), sup=max=\(a_2\);
se \(k=0\), si ha che \({{a}_{n}}^{k}=1\) per ogni \(n\), per cui inf=min=sup=max=1.
Massimo Bergamini