Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Egregio professore ho un dubbio per quanto riguarda il dominio di questa funzione
\[F\left( x,y \right)=\log \left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)+\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\quad .\]
Il dominio in questo caso è semplicemente connesso o no? Fatemi vedere il grafico del dominio, grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
non era chiaro nel testo della tua domanda se il denominatore \(x^2+y^2\) fosse o meno compreso sotto il segno di radice, ma questo è ininfluente ai fini del dominio, essendo tale espressione comunque non negativa.
Il dominio di \(F(x,y)\) è il sottoinsieme \({{D}_{F}}\subset {{\mathbb{R}}^{2}}\) che risolve il seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} x^2-3x+2>0 \\ x^2+y^2-2x\geq 0 \\ x^2+y^2\neq 0 \end{array} \right.\]
La prima disequazione è risolta da tutte le coppie \((x,y)\) tali che \(x<1\) o \(x>2\), cioè le coppie che rappresentano punti dei semipiani esterni alla striscia delimitata dalle rette parallele all’asse \(y\) \(x=1\) e \(x=2\). La seconda disequazione rappresenta la regione esterna alla circonferenza di centro \((1,0)\) e raggio 1, punti della circonferenza compresi. La terza condizione esclude l’origine \((0,0)\) dal dominio \(D_F\). È chiaro che tale dominio non è semplicemente connesso, essendo costituito dall’unione di due sottoinsiemi disgiunti di \(\mathbb{R}^{2}\).
Massimo Bergamini