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Primitive

Emanuela chiede aiuto in merito ad un problema di ricerca di una particolare primitiva di una funzione assegnata.
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Ricevo da Emanuela la seguente domanda:   Caro professore, non capisco questo problema (pag.4, n.14, Verso la seconda prova di matematica 2017). a. Indica quale delle seguenti funzioni può descrivere l’andamento del grafico in figura:    \[f\left( x \right)=2{{e}^{-{{x}^{2}}}}+k,\ f\left( x \right)=\cos \left( kx \right)-1,\ f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}},\] e determina il valore di \(k\). b. Tra le primitive della funzione, determina quella che passa per il punto \(A\) e disegnane il grafico. c. Detta \(C\) l’intersezione tra la primitiva trovata e l’asse \(y\), verifica che il grafico della primitiva è simmetrico rispetto a \(C\).   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Emanuela, l’unica funzione plausibile è \(f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}}\), dal momento che la prima presenta un asintoto orizzontale \(y=k\) agli infiniti, la seconda è periodica; il valore di \(k\) consegue dal fatto che \(A(1;-2)\) debba appartenere al grafico:            \[k-2k=-2\to k=2\to f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}\quad .\] Integriamo in senso indeterminato \(f(x)\): \[\int{\left( 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}+c\] e utlizziamo il passaggio per \(A\) per fissare la costante \(c\) e quindi la primitiva richiesta: \[\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+c=-2\to c=-\frac{16}{15}\to f\left( x \right)=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\] Infine, poiché si ha \(C\left( 0;-\frac{16}{15} \right)\), si tratta di verificare che la funzione trovata risulta invariante rispetto alla trasformazione: \[{{S}_{C}}:\left\{ \begin{align}  & x'=-x \\  & y'=-\frac{32}{15}-y \\ \end{align} \right.\] infatti: \[-\frac{32}{15}-y=\frac{2}{5}{{\left( -x \right)}^{5}}-\frac{4}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-\frac{16}{15}\to y=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\]   Massimo Bergamini
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