\[f\left( x \right)=2{{e}^{-{{x}^{2}}}}+k,\ f\left( x \right)=\cos \left( kx \right)-1,\ f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}},\]
e determina il valore di \(k\).
b. Tra le primitive della funzione, determina quella che passa per il punto \(A\) e disegnane il grafico.
c. Detta \(C\) l’intersezione tra la primitiva trovata e l’asse \(y\), verifica che il grafico della primitiva è simmetrico rispetto a \(C\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Emanuela,
l’unica funzione plausibile è \(f\left( x \right)=k{{x}^{4}}-2k{{x}^{2}}\), dal momento che la prima presenta un asintoto orizzontale \(y=k\) agli infiniti, la seconda è periodica; il valore di \(k\) consegue dal fatto che \(A(1;-2)\) debba appartenere al grafico: \[k-2k=-2\to k=2\to f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}\quad .\]
Integriamo in senso indeterminato \(f(x)\): \[\int{\left( 2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}+c\] e utlizziamo il passaggio per \(A\) per fissare la costante \(c\) e quindi la primitiva richiesta:
\[\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+c=-2\to c=-\frac{16}{15}\to f\left( x \right)=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\] Infine, poiché si ha \(C\left( 0;-\frac{16}{15} \right)\), si tratta di verificare che la funzione trovata risulta invariante rispetto alla trasformazione: \[{{S}_{C}}:\left\{ \begin{align} & x'=-x \\ & y'=-\frac{32}{15}-y \\ \end{align} \right.\] infatti: \[-\frac{32}{15}-y=\frac{2}{5}{{\left( -x \right)}^{5}}-\frac{4}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-\frac{16}{15}\to y=\frac{2}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}-\frac{16}{15}\quad .\]
Massimo Bergamini
