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Punti interni, esterni, di frontiera

Ricevo da Chiara la seguente domanda:

Gentile professore, le sarei molto grato se potesse chiarimi un dubbio riguardo un esempio sui punti interni, esterni e di frontiera:
Sia \(E=\mathbb{Q}\). Si ha punti interni di \(\mathbb{Q}\)=insieme vuoto; inoltre non esistono punti esterni a \(\mathbb{Q}\), perciò la frontiera di \(\mathbb{Q}\) è \(\mathbb{R}\), insieme dei numeri reali.
La ringrazio  moltissimo per la sua disponibilità
Cordiali saluti chiara
 
Le rispondo così:
 
Cara Chiara,
richiamiamo alcune definizioni. Posto che per intorno \(I(c)\) di \(c\in \mathbb{R}\) intendiamo un intervallo aperto contenente \(c\), dato un sottoinsieme \(E\subseteq \mathbb{R}\), diciamo che \(c\) è interno ad \(E\) se esiste un intorno \(I(c)\) tutto contenuto in \(E\), diciamo che \(c\) è esterno ad \(E\) se esiste un intorno \(I(c)\) che è disgiunto da \(E\), cioè non contiene punti di \(E\), diciamo che \(c\) è di frontiera per \(E\) se ogni intorno \(I(c)\) contiene sia punti di \(E\) che punti del complementare di \(E\), cioè \(\mathbb{R}-E\); si indica con \(F_E\) (frontiera di \(E\)) l’insieme dei punti di frontiera di \(E\). L’insieme \(\mathbb{Q}\) dei razionali è tale che, come facilmente si dimostra, dato l’ordinamento naturale dei numeri reali, presi due numeri razionali distinti esiste sempre un reale non razionale compreso tra i due, cioè strettamente maggiore del minore e strettamente minore del maggiore, e viceversa, quindi, dati due reali distinti qualsiasi, esistono sia infiniti razionali che infiniti irrazionali compresi tra i due. Questo implica che, per quanto “piccolo” sia l’intorno di un qualsiasi numero reale \(c\), in tale intorno cadono sia elementi di \(\mathbb{Q}\) che elementi del complementare \(\mathbb{R}-E\), perciò \(F_Q=\mathbb{R}\).
 
Massimo Bergamini

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