Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro Professore, ho un dubbio su questo quesito: Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta

y = 2

della parte di piano delimitata dalla funzione

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

e dalla retta

y = 4

. Grazie. Le rispondo così: Cara Elisa,

per prima cosa operiamo una traslazione di

2

unità in direzione delle

y

negative, ottenendo la funzione traslata

f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x}

, che incontra la retta

y = 2

nei punti di ascissa

x = 2 - \sqrt{3}

e

x = 2 + \sqrt{3}

, e quindi operiamo la rotazione rispetto all’asse delle

x

. Il volume

V

del solido in questione si ottiene per sottrazione dal volume del cilindro generato dalla rotazione del rettangolo in cui è inscritta la regione:

V = 8 \sqrt{3} π - π \int_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} \frac{{(x - 1)}^{4}}{x^{2}} d x =

= 8 \sqrt{3} π - π {[\frac{(x - 1) (x^{3} - 5 x^{2} + 13 x + 3)}{3 x} - 4 \ln x]}_{2 - \sqrt{3}}^{2 + \sqrt{3}} =

= 8 \sqrt{3} π - 8 \sqrt{3} π - 8 π \ln (2 - \sqrt{3}) \approx 33, 1 .

Massimo Bergamini