Ricevo da Maria la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare con questi tre limiti?
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin x}{\ln {{\left( 1+x \right)}^{4}}}\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}-2}{3{{x}^{2}}}\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{2\left| x \right|}{{{x}^{2}}}}}\quad\]
(410, 411 e 412 pag u180 del Manuale blu di Matematica).
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Maria,
nel primo caso si tratta di usare le proprietà dei logaritmi e di far intervenire due noti limiti notevoli:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin x}{\ln {{\left( 1+x \right)}^{4}}}=\frac{3}{4}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{x}{\ln \left( 1+x \right)} \right)=\frac{3}{4}\quad .\]
Nel secondo caso, si ottiene un altro limite notevole operando in questo modo sull’espressione:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}-2}{3{{x}^{2}}}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+1/{{e}^{x}}-2}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{x}}}\cdot \frac{{{e}^{2x}}+1-2{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}} \right)=\]
\[=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{x}}}\cdot {{\left( \frac{{{e}^{x}}-1}{x} \right)}^{2}} \right)=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{x}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{{{e}^{x}}-1}{x} \right)}^{2}}=\frac{1}{3}\quad .\]
Nell’ultimo caso, si ha direttamente il risultato se si considera che \(x^2=|x|\cdot |x|\):
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{2\left| x \right|}{{{x}^{2}}}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{2}{\left| x \right|}}}\to {{e}^{\frac{2}{{{0}^{+}}}}}\to {{e}^{+\infty }}=+\infty \quad .\]
Massimo Bergamini