Ricevo da Michele la seguente domanda:
Gentile prof, mi può aiutare a risolvere questo integrale?
\[\int{\frac{1+\sin 2x}{{{\cos }^{2}}2x}\,dx}\]
In attesa la saluto cordialmente
Gli rispondo così:
Caro Michele,
per questo integrale possono risultare efficaci le formule parametriche che si ottengono con il seguente cambiamento di variabile:
\[t=\tan x\to x=\arctan t\to dx=\frac{dt}{1+{{t}^{2}}}\quad \sin 2x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\quad \cos 2x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\]
per cui il nostro integrale diventa
\[\int{\frac{1+\sin 2x}{{{\cos }^{2}}2x}dx}=\int{\frac{1+2t/\left( 1+{{t}^{2}} \right)}{{{\left( 1-{{t}^{2}} \right)}^{2}}/{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}\cdot \frac{1}{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}}\,dt=\int{\frac{1}{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}}\,dt=\]
\[=\frac{1}{1-t}+c=\frac{1}{1-\tan x}+c\quad .\]
Massimo Bergamini