Cara Alessia,

facilmente si ricavano le coordinate di \(A\) e \(B\): \(A(0,0)\), \(B(7,0)\), per cui,  la retta \(s\) è definita dall’equazione \(x=k\), con \(0\leq k\leq 7\). Si tratta ora di ricavare la lunghezza del segmento \(MN\) in funzione di \(k\), osservando che, per definizione, le ordinate di \(M\) e \(N\) corrispondenti all’ascissa \(k\) sono ovviamente \(-k^2+8k\) e \(k^2-6k\) rispettivamente. Bisogna prestare attenzione al fatto che la lunghezza del segmento \(MN\) risulti definita non negativa per ogni \(k\) accettabile: per definizione si avrebbe

                     \[MN=\left| {{y}_{M}}\left( k \right)-{{y}_{N}}\left( k \right) \right|=\left| -2{{k}^{2}}+14k \right|\]

ma tenendo conto che \({{y}_{M}}\left( k \right)\ge {{y}_{N}}\left( k \right)\ \forall k\in \left[ 0,7 \right]\), possiamo tralasciare il valore assoluto e scrivere:

                                                                 \[MN=-2{{k}^{2}}+14k\quad .\]

Dovendo massimizzare tale funzione nell’intervallo assegnato, potremmo semplicemente osservare, trattandosi di funzione quadratica, che il massimo relativo corrisponde senz’altro al vertice della parabola che ne rappresenta il grafico, cioè \(k=7/2\). In modo più generale, utilizzando il calcolo infinitesimale, diremo che tale valore corrisponde all’unico punto a derivata nulla dell’espressione di \(MN\), essendo tale derivata \(-4k+14\).

Poiché la derivata è prima positiva e poi negativa rispetto al valore di annullamento \(k=7/2\), tale valore corrisponde ad un massimo locale, che è dato da \(MN(7/2)=49/2\).

Massimo Bergamini